From 9ae97123a08cfee391cbd7a3a74ab0af33895396 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Sarah Gosselin <sarah@gosselin.xyz>
Date: Tue, 3 Dec 2024 20:54:21 -0500
Subject: leaving Louis

---
 annexe/main.tex | 17 +++++++++++++++--
 1 file changed, 15 insertions(+), 2 deletions(-)

(limited to 'annexe/main.tex')

diff --git a/annexe/main.tex b/annexe/main.tex
index 236d3c8..630615f 100644
--- a/annexe/main.tex
+++ b/annexe/main.tex
@@ -13,6 +13,7 @@
 \usepackage{amsmath}
 \usepackage{mathtools}
 \usepackage{cancel}
+\usepackage{witharrows}
 \usepackage[dvipsnames]{xcolor}
 \usepackage[T1]{fontenc}
 \usepackage{csquotes}
@@ -108,14 +109,26 @@
 		\vst = \frac{1}{CL} \iint \vlt \dt\ \dt + \frac{R}{L}\int\vlt\dt + \vlt\\
 		\nonumber \text{On substitue les termes $R, L, C$ par les \cref{eq:alpha,eq:omega_0}}\\
 		\ddt{2}V_S = \ddt{2}\vlt + 2\al\ddt{}\vlt + \omega^2\vlt\\
+	\end{gather}
+	On entame la résolution de l'equation différetielle d'ordre 2 à coéfficient
+	constant et forcé par la solution homogène.
+	Tel que présenté par l'\cref{eq:vlt-charge-generale}.
+	\begin{gather}
+		\vlt = V_{L_h} + V_{L_p} \label{eq:vlt-charge-generale}\\
 		\nonumber \text{On pose la forme de la solution homogène: } V_{L_h} = Ae^{\la t} = 0\\
 		0 = \la^2Ae^{\la t} + 2\al\la Ae^{\la t} + \omega_0^2Ae^{\la t}\\
 		0 = \cancelto{0}{Ae^{\la t}}\left(\la^2 + 2\al\la + \omega_0\right)\\
 		\la_{1,2} = \frac{-2\al \pm \sqrt{(2\al)^2 - 4\omega_0^2}}{2}\\
 		\la_{1,2} = -\al\pm\sqrt{\al^2 - \omega_0^2}\\
-		\nonumber\text{Puisque le discriminant est négatif, on le multiplie par $-1$ et on sort $j$.}\\
-		% \la_{1,2} = -\al\pm j\sqrt{\}
+		\nonumber\text{Puisque le discriminant est négatif, on le multiplie par $-1$,}\\
+		\nonumber\text{on sort $j$ et on simplifie avec l'\cref{eq:omega_n}.}\\
+		\la_{1,2} = -\al\pm j\omega_n\\
+		\begin{WithArrows}
+			V_{L_h} &= A_1e^{(-\al+j\wn)t} + A_2e^{(-\al+j\wn)t} \Arrow{Se simplifie} \\
+			V_{L_h} &= e^{-\al t}\left(A_1e^{j\wn t} + A_2e^{-j\wn t}\right)
+		\end{WithArrows}
 	\end{gather}
+	On prend utilise ensuite la formule d'Euler afin de résoudre l'équation.
 
 	\subsection{Décharge}
 	\begin{gather*}
-- 
cgit v1.2.3

