From 18fd0b4b138a3cf6617fc8e477ccd59703fbeec2 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Benjamin Chausse <benjamin@chausse.xyz>
Date: Wed, 4 Dec 2024 00:48:18 -0500
Subject: Fix Sarah (at least attempt.... :P )

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 annexe/main.tex | 30 ++++++++++++++++--------------
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--- a/annexe/main.tex
+++ b/annexe/main.tex
@@ -94,8 +94,8 @@
 		V(t) = RI(t) \label{eq:vri}\\
 		\nonumber\\
 		\al = \frac{R}{2L} \label{eq:alpha}\\
-		\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}} \label{eq:omega_0}\\
-		\omega_n = \sqrt{\omega_0^2 - \al^2 \label{eq:omega_n}} \\
+		\wz = \frac{1}{\sqrt{LC}} \label{eq:omega_0}\\
+		\omega_n = \sqrt{\ws  - \al^2 \label{eq:omega_n}} \\
 		e^{j\theta} = \cos(\theta) + j\sin(\theta) \label{eq:euler}
 	\end{gather}
 
@@ -104,7 +104,7 @@
 	\subsection{Charge}
 	On pose l'équation de l'état du circuit au temp $t(0)$ et on substitue pour
 	avoir en fonction de $\vlt$.
-	Puisque que circuit simplifié est constituer d'une seule boucle, le courant
+	Puisque que circuit simplifié est constitué d'une seule boucle, le courant
 	se simplifie comme suit: $I_C = I_R = I_V = I$.
 
 
@@ -113,7 +113,7 @@
 		\vst = \frac{1}{C}\int I(t) \dt + RI(t) + \vlt \\
 		\vst = \frac{1}{CL} \iint \vlt \dt\ \dt + \frac{R}{L}\int\vlt\dt + \vlt\\
 		\nonumber \text{On substitue les termes $R, L, C$ par les \cref{eq:alpha,eq:omega_0}}\\
-		\ddt{2}V_S = \ddt{2}\vlt + 2\al\ddt{}\vlt + \omega^2\vlt\\
+		\ddt{2}V_S = \ddt{2}\vlt + 2\al\ddt{}\vlt + \ws\vlt
 	\end{gather}
 
 	On entame la résolution de l'equation différetielle d'ordre 2 à coéfficient
@@ -122,10 +122,10 @@
 	\begin{gather}
 		V_{L_g} = V_{L_h} + V_{L_p} \label{eq:vlt-charge-generale}\\
 		\nonumber \text{On pose la forme de la solution homogène: } V_{L_h} = Ae^{\la t} = 0\\
-		0 = \la^2Ae^{\la t} + 2\al\la Ae^{\la t} + \omega_0^2Ae^{\la t}\\
-		0 = \cancelto{0}{Ae^{\la t}}\left(\la^2 + 2\al\la + \omega_0\right)\\
-		\la_{1,2} = \frac{-2\al \pm \sqrt{(2\al)^2 - 4\omega_0^2}}{2}\\
-		\la_{1,2} = -\al\pm\sqrt{\al^2 - \omega_0^2}\\
+		0 = \la^2Ae^{\la t} + 2\al\la Ae^{\la t} + \ws Ae^{\la t}\\
+		0 = \cancelto{0}{Ae^{\la t}}\left(\la^2 + 2\al\la + \wz\right)\\
+		\la_{1,2} = \frac{-2\al \pm \sqrt{(2\al)^2 - 4\ws }}{2}\\
+		\la_{1,2} = -\al\pm\sqrt{\al^2 - \ws }\\
 		\nonumber\text{Puisque le discriminant est négatif, on le multiplie par $-1$,}\\
 		\nonumber\text{on sort $j$ et on simplifie avec l'\cref{eq:omega_n}.}\\
 		\la_{1,2} = -\al\pm j\omega_n\\
@@ -143,16 +143,16 @@
 		V_{L_h} = e^{-\al t}\left[C_1\cos(\wn t) + C_2\sin(\wn t)\right]\label{eq:vlh-sol-homo}
 	\end{gather}
 
-	Ayant maintenant la solution homogène, il faudrait trouvé la solution particulière
+	Ayant maintenant la solution homogène, il faudrait trouver la solution particulière
 	afin d'arriver à l'\cref{eq:vlt-charge-generale}
 	Cependant, puisque le terme forcé est une constante, la solution particulière $V_{L_p}$
-	basé sur sa dérivée est donc null.
+	basé sur sa dérivée est donc nulle.
 	\begin{gather}
 		V_{L_g} = V_{L_h} + \cancelto{0}{V_{L_p}}\label{eq:vlt-sol-generale}
 	\end{gather}
 
 
-	Les conditions initiales sont trouvé en se basant sur l'\cref{eq:vst-initiale-charge}:
+	Les conditions initiales sont trouvées en se basant sur l'\cref{eq:vst-initiale-charge}:
 	\begin{DispWithArrows}
 		\ddt{}\vst &= \ddt{}\vct + \ddt{}\vrt + \ddt{}\vlt \Arrow{\footnotesize Isoler $\vlt$}\\
 		\ddt{}\vlt &=
@@ -186,12 +186,14 @@
 		\left[12\al\cancelto{1}{\cos(\wn t)} + \cancelto{0}{C_2\al\sin(\wn t)} +
 			\cancelto{0}{12\wn\sin(\wn t)} - C_2\wn\cancelto{1}{\cos(\wn t)}\right]\\
 		-24000 = -12\al + C_2\wn\\
-		C_2 = \frac{-24000 + 12\al}{\wn} = -1.654
+		C_2 = \frac{-24000 + 12\al}{\wn} = -1.41 \\
+		\vlt = e^{-\al t}\left[12\cos(\wn t) - 1.41\sin(\wn t)\right]
 	\end{gather}
 
-	Avec les valeurs de $C_1$ et $C_2$ il est maintenant possible d'ecrire la fonction $\vlt$ complète.
+	Avec les valeurs de $C_1$ et $C_2$ il est maintenant possible d'écrire la fonction $\vlt$ complète.
 	\begin{gather}
-		\vlt = e^{-\al t}\left[12\cos(\wn t) - 1.654\sin(\wn t)\right]
+		\al = 1000;\quad \wn = 8516.42; \\
+		\vlt = e^{-1000t}\left[12\cos(8516.42 t) - 1.41\sin(8516.42 t)\right]
 	\end{gather}
 
 
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cgit v1.2.3

