From 19e93edd0678066e185d6108384972e985b2ecb8 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Benjamin Chausse <benjamin@chausse.xyz>
Date: Tue, 3 Dec 2024 20:54:58 -0500
Subject: Bertha mommy

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 annexe/main.tex | 61 ++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++---
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index 236d3c8..b1ebb7d 100644
--- a/annexe/main.tex
+++ b/annexe/main.tex
@@ -21,6 +21,7 @@
 \usepackage[french]{cleveref}
 
 \newcommand{\note}[1]{\begin{color}{Orange}\textbf{NOTE:} #1\end{color}}
+\newcommand{\todo}[1]{\begin{color}{Red}\textbf{TODO:} #1\end{color}}
 \newcommand{\fixme}[1]{\begin{color}{Fuchsia}\textbf{FIXME:} #1\end{color}}
 \newcommand{\question}[1]{\begin{color}{ForestGreen}\textbf{QUESTION:} #1\end{color}}
 
@@ -32,7 +33,7 @@
 \newcommand{\vct}{V_C(t)}
 \newcommand{\vrt}{V_R(t)}
 \newcommand{\vst}{V_S(t)}
-\newcommand{\vlz}{V_L(0)}
+\newcommand{\vlz}{V_L(0^+)}
 
 \newcommand{\ilt}{I_L(t)}
 \newcommand{\ict}{I_C(t)}
@@ -43,6 +44,8 @@
 \newcommand{\ws}{\omega_{0}^2}
 \newcommand{\wn}{\omega_{\mathrm{n}}}
 
+\renewcommand{\exp}[1]{\times10^{#1}}
+
 \newcommand{\rootd}{\sqrt{\al^2-\ws}}
 
 
@@ -121,6 +124,7 @@
 	\begin{gather*}
 		\begin{align}
 			0         & = \vlt + V_C(t) + V_R(t)                                                           \\
+			\label{eq:rlc_decharge_initial}
 			0         & = \vlt+\frac{1}{C}\int I_(t)\dt + R_I(t)                                           \\
 			0         & = \ddt{2}\left[ \vlt + \frac{1}{LC}\iint\vlt\dt^2 + \frac{R}{L}\ddt{} \vlt \right] \\
 			0         & = \ddt{2}\vlt+ \frac{R}{L}\ddt{}\vlt +\frac{1}{LC}\vlt                             \\
@@ -144,6 +148,7 @@
 
 	\begin{equation}
 		\vlt = A_1e^{\al-\rootd} + A_2e^{\al+\rootd} \\
+		\label{eq:vl_straight_decharge}
 	\end{equation}
 
 	Pour déterminer les constantes $A_1$ et $A_2$, il faut une deuxième équation dont on connait les
@@ -151,8 +156,58 @@
 	il est possible de déterminer les propriétés à $t=0$.
 
 	Lors de la simulation \textit{LTspice}, les spécifications de décharge du circuit généraient déjà une
-	régression exponentielle suffisament rapides pour les besoins du circuit. La valeur de $R_1$ (\SI{100}{\kohm})
-	est donc gardée idem utilisée dans le calcul de la dérivée pour en simplifier la résolution.
+	régression exponentielle suffisament rapides pour les besoins du circuit. La valeur de $R_2$ (\SI{100}{\kohm})
+	est donc gardée idem puis utilisée dans le calcul de la dérivée pour en simplifier la résolution. La résistance $R_1$
+	est négligée puisque sa valeur est moindre face à la tolérance $\pm 5\%$ de $R_2$.
+
+	\begin{gather*}
+		\begin{align}
+			R    = \SI{100}{\kohm}
+			         & ;
+			L  = \SI{20}{\mH}; C = \SI{680}{\nF}                                                      \\
+			\al      & = \frac{1\exp{5}}{2\cdot20\exp{-3}} = 2.5\exp{6}                               \\
+			\al^2    & = 6.25\exp{12}                                                                 \\
+			\wz      & =\frac{1}{\sqrt{20\exp{-3}\cdot680\exp{-9}}} = \frac{1}{\sqrt{1.36\exp{-8}}}   \\
+			\ws      & =\frac{1}{1.36\exp{-8}}                                                        \\
+			\rho     & = \sqrt{\al^2-\ws} \quad\text{\footnotesize(variable pour alléger la lecture)} \\
+			\rho     & = \sqrt{6.25\exp{12}-\frac{1}{1.36\exp{-8}}}                                   \\
+			\rho     & = 2499985.2941\ldots                                                           \\
+			\al-\rho & \approx 14.7059                                                                \\
+			\al+\rho & \approx 4'999'999.2941
+		\end{align}
+	\end{gather*}
+	On peut alors dériver de l'\cref{eq:vl_straight_decharge}:
+	\begin{gather*}
+		\begin{align}
+			\ddt{}\vlt & =\ddt{}\left( A_1e^{\al-\rho} + A_2e^{\al+\rho}\right)                      \\
+			\ddt{}\vlt & =\ddt{}\left( A_1e^{14.7059t} + A_2e^{4'999'999.2941t}\right)               \\
+			\ddt{}\vlt & = 14.7059\cdot A_1e^{14.7059t} + 4'999'999.2941\cdot A_2e^{4'999'999.2941t}
+			\label{eq:bertha_mommy_decharge}
+		\end{align}
+	\end{gather*}
+	\todo{Expliquer pourquoi on passe par ici dans ce qui suit}\\
+	\begin{gather*}
+		\begin{align}
+			0          & = \ddt{}\vlt + \ddt{}V_C(t) + \ddt{}V_R(t)\quad \\
+			\ddt{}\vlt & =  - \ddt{}V_C(t) - \ddt{}V_R(t)                \\
+			\ddt{}\vlt & = \frac{-1}{C}I(t) - R\ddt{}I(t)
+		\end{align}
+	\end{gather*}
+	En réarangeant les termes de l'\cref{eq:vlt}, nous pouvons substituer $\ddt{}I(t)$ pour obtenir:
+	\begin{gather*}
+		\begin{align}
+			\ddt{}\vlt & = \frac{-1}{C}I(t) - \frac{R}{C}\vlt
+		\end{align}
+	\end{gather*}
+	Nous pouvons enfin déterminer la dériver du système au temps $0^+$ puisque tout les termes de droite sont connus:
+	\begin{gather*}
+		\begin{align}
+			I(0^+)     & = 0                                               \\
+			\vlz       & = -12                                             \\
+			\ddt{}\vlz & =  0  - 12\frac{1\exp{5}}{20\exp{-3}} = 60\exp{6}
+		\end{align}
+	\end{gather*}
+
 
 
 \end{appendix}
-- 
cgit v1.2.3

