From 283c98ef9358daa7a9153c799e42753141e00cdf Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Benjamin Chausse <benjamin@chausse.xyz>
Date: Tue, 3 Dec 2024 22:28:20 -0500
Subject: Eq substraction

---
 annexe/main.tex | 51 +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++----------
 1 file changed, 41 insertions(+), 10 deletions(-)

(limited to 'annexe/main.tex')

diff --git a/annexe/main.tex b/annexe/main.tex
index c1c2b93..179ca97 100644
--- a/annexe/main.tex
+++ b/annexe/main.tex
@@ -81,6 +81,7 @@
 
 \begin{appendix}
 	\section{Outils mathématiques (Bible)}
+	\label{sec:bible}
 	Les fonction suivantes seront utilisées et référencé tout au long de l'annexe.
 
 	\begin{gather}
@@ -151,20 +152,31 @@
 			0         & = Ae^{\la t} \left(\la^2 +2\al\la+\ws \right)                                      \\
 			0         & = \la^2 +2\al\la+\ws                                                               \\
 			\la_{1,2} & = \frac{-2\al\pm\sqrt{(-2\al)^2-4\ws}}{2(-2\al)}                                   \\
-			\la{1,2}  & = -\al\pm\sqrt{\al^2-\ws}
+			\la_{1,2} & = -\al\pm\sqrt{\al^2-\ws}
 		\end{align}
 	\end{gather*}
 	Puisque $R$ est de l'ordre des \si{\kohm} et $L$ de l'ordre des \SI{}{\mH}, on peut déterminer
 	sans faire de calculs que l'intérieur de la racine carrée $\wn$ est posifive. Donc nul besoin de
-	passer par notre ami Euler pour déterminer les valeurs de $\la$. Nous pouvons maintenant réintégrer
+	passer par notre ami Euler pour déterminer les valeurs de $\la$.
+
+	Nous pouvons maintenant réintégrer
 	ce coefficient dans notre supposition initiale que $\vlt=Ae^{\la t}$.
 
 	\begin{equation}
-		\vlt = A_1e^{\al-\rootd} + A_2e^{\al+\rootd} \\
+		\vlt = A_1e^{(\al-\rootd)t} + A_2e^{(\al+\rootd)t} \\
 		\label{eq:vl_straight_decharge}
 	\end{equation}
 
-	Pour déterminer les constantes $A_1$ et $A_2$, il faut une deuxième équation dont on connait les
+	Du même coup, le résultat de cette expression évaluée à $t=0^+$ sera utille pour isoler $A_1$ et $A_2$
+	plus tard. La voici donc:
+
+	\begin{gather*}
+		\begin{align}
+			\vlz & = A_1\cancel{e^0} + A_2\cancel{e^0} = A_1 + A_2 = -12
+		\end{align}
+	\end{gather*}
+
+	Pour déterminer les constantes $A_1$ et $A_2$, il faudra une deuxième équation dont on connait les
 	charactéristiques à un temps donné. On peut obtenir en dérivant l'équation de $\vlt$ dont
 	il est possible de déterminer les propriétés à $t=0$.
 
@@ -189,16 +201,21 @@
 			\al+\rho & \approx 4'999'999.2941
 		\end{align}
 	\end{gather*}
-	On peut alors dériver de l'\cref{eq:vl_straight_decharge}:
+	On peut alors dériver l'\cref{eq:vl_straight_decharge} pour obtenir la deuxième équation
+	nécessaire pour déterminer $A_1$ et $A_2$:
 	\begin{gather*}
 		\begin{align}
 			\ddt{}\vlt & =\ddt{}\left( A_1e^{\al-\rho} + A_2e^{\al+\rho}\right)                      \\
 			\ddt{}\vlt & =\ddt{}\left( A_1e^{14.7059t} + A_2e^{4'999'999.2941t}\right)               \\
-			\ddt{}\vlt & = 14.7059\cdot A_1e^{14.7059t} + 4'999'999.2941\cdot A_2e^{4'999'999.2941t}
+			\ddt{}\vlt & = 14.7059\cdot A_1e^{14.7059t} + 4'999'999.2941\cdot A_2e^{4'999'999.2941t} \\
+			\ddt{}\vlz & = 14.7059 A_1\cancel{e^{0}} + 4'999'999.2941 A_2\cancel{e^{0}}
 			\label{eq:bertha_mommy_decharge}
 		\end{align}
 	\end{gather*}
-	\todo{Expliquer pourquoi on passe par ici dans ce qui suit}\\
+	Nous connaissons donc la forme de la dérivée de $\vlz$ mais pas sa valeur à
+	$t=0^+$. Toutefois, il est possible d'avoir que des termes dont la condition
+	initiale est connue en remaniant la mise en équation du circuit avec les
+	équations de l'\cref{sec:bible}:
 	\begin{gather*}
 		\begin{align}
 			0          & = \ddt{}\vlt + \ddt{}V_C(t) + \ddt{}V_R(t)\quad \\
@@ -215,11 +232,25 @@
 	Nous pouvons enfin déterminer la dériver du système au temps $0^+$ puisque tout les termes de droite sont connus:
 	\begin{gather*}
 		\begin{align}
-			I(0^+)     & = 0                                               \\
-			\vlz       & = -12                                             \\
-			\ddt{}\vlz & =  0  - 12\frac{1\exp{5}}{20\exp{-3}} = 60\exp{6}
+			I(0^+)     & = 0                                              \\
+			\vlz       & = -12                                            \\
+			\ddt{}\vlz & =  0  - 12\frac{1\exp{5}}{20\exp{-3}} = 6\exp{7}
 		\end{align}
 	\end{gather*}
+	Il est maintenant possible d'isoler $A_1$ et $A_2$ en résolvant un système d'équations.
+	\begin{gather*}
+		\begin{align}
+			-12 = A_1 + A_2 \Rightarrow -176.4708 = 14.7059A_1 + 14.7059A_2
+		\end{align}
+	\end{gather*}
+	Il est maintenant trivial d'isoler $A_2$:
+	\begin{gather*}
+		\begin{array}{l@{\quad}cr@{}l}
+			                   &  & -176.4708 & {}=        \cancel{14.7059A_1}  + 14.7059A_2  \\
+			\text{\bfseries--} &  & 6\exp{7}  & {}= \cancel{14.7059 A_1} + 4'999'999.2941 A_2 \\ \cline{2-4}
+			                   &  & 0         & {}= -x-5
+		\end{array}
+	\end{gather*}
 
 
 
-- 
cgit v1.2.3


From 914889e4fe2f726e428a6c3fefc945df78bcea1d Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Benjamin Chausse <benjamin@chausse.xyz>
Date: Tue, 3 Dec 2024 22:46:50 -0500
Subject: Ma baguette de pain est toute séchée!!!
MIME-Version: 1.0
Content-Type: text/plain; charset=UTF-8
Content-Transfer-Encoding: 8bit

---
 annexe/main.tex | 22 ++++++++++++++++++----
 1 file changed, 18 insertions(+), 4 deletions(-)

(limited to 'annexe/main.tex')

diff --git a/annexe/main.tex b/annexe/main.tex
index 179ca97..bad3e6e 100644
--- a/annexe/main.tex
+++ b/annexe/main.tex
@@ -245,13 +245,27 @@
 	\end{gather*}
 	Il est maintenant trivial d'isoler $A_2$:
 	\begin{gather*}
-		\begin{array}{l@{\quad}cr@{}l}
-			                   &  & -176.4708 & {}=        \cancel{14.7059A_1}  + 14.7059A_2  \\
-			\text{\bfseries--} &  & 6\exp{7}  & {}= \cancel{14.7059 A_1} + 4'999'999.2941 A_2 \\ \cline{2-4}
-			                   &  & 0         & {}= -x-5
+		\begin{array}{l@{\quad}cr@{}ll}
+			                   &  & -176.4708 & {}=        \cancel{14.7059A_1} & + 14.7059A_2         \\
+			\text{\bfseries--} &  & 6\exp{7}  & {}= \cancel{14.7059 A_1}       & + 4'999'999.2941 A_2 \\ \cline{2-5}
+			\approx            &  & 6\exp{7}  & {}= 0                          & -4'999'999.2941 A_2
 		\end{array}
 	\end{gather*}
+	\begin{gather*}
+		\begin{align}
+			A_2 & \approx -\frac{6\exp{7}}{5\exp{6}} = -12 \\
+			-12 & = A_1 + A_2                              \\
+			A_1 & = 0
+		\end{align}
+	\end{gather*}
+	La solution de la décharge est donc:
 
+	\begin{gather*}
+		\begin{align}
+			\vlt & = \cancel{0e^{(\al-\rootd)t}} -12 e^{-5\exp{6}t} \\
+			\vlt & = -12 e^{-5\exp{6}t}
+		\end{align}
+	\end{gather*}
 
 
 \end{appendix}
-- 
cgit v1.2.3

