From 7f43958b23935e80712e235f430eae156907caa8 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Sarah Gosselin <sarah@gosselin.xyz>
Date: Wed, 4 Dec 2024 00:49:18 -0500
Subject: Tried to fix Ben... Better Luck next time! xD

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 annexe/main.tex | 81 +++++++++++++++++++++++++++++++--------------------------
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--- a/annexe/main.tex
+++ b/annexe/main.tex
@@ -198,32 +198,32 @@
 	\subsection{Décharge}
 	\begin{gather*}
 		\begin{align}
-			0                             & = \vlt + V_C(t) + V_R(t)                                                           \\
+			0                             & = \vlt + V_C(t) + V_R(t)                                                              \\
 			\label{eq:rlc_decharge_initial}
-			0                             & = \vlt+\frac{1}{C}\int I_(t)\dt + R_I(t)                                           \\
-			0                             & = \ddt{2}\left[ \vlt + \frac{1}{LC}\iint\vlt\dt^2 + \frac{R}{L}\ddt{} \vlt \right] \\
-			0                             & = \ddt{2}\vlt+ \frac{R}{L}\ddt{}\vlt +\frac{1}{LC}\vlt                             \\
-			0                             & = \ddt{2}+\vlt+2\al\ddt{}\vlt+\ws                                                  \\
+			0                             & = \vlt+\frac{1}{C}\int \ilt\dt + R_I(t)                                               \\
+			0                             & = \ddt{2}\left[ \vlt + \frac{1}{LC}\iint\vlt\dt\ \dt + \frac{R}{L}\ddt{} \vlt \right] \\
+			0                             & = \ddt{2}\vlt+ \frac{R}{L}\ddt{}\vlt +\frac{1}{LC}\vlt                                \\
+			0                             & = \ddt{2}\vlt+2\al\ddt{}\vlt+\ws                                                      \\
 			\nonumber \text{Posons que: } &
 			\vlt=Ae^{\la t} \Rightarrow
 			\ddt{}\vlt=\la Ae^{\la t} \Rightarrow
-			\ddt{2}\vlt=\la^{2}Ae^{\la t}                                                                                      \\
-			0                             & = \la^2Ae^{\la t} +2\al Ae^{\la t} + \ws Ae^{\la t}                                \\
-			0                             & = Ae^{\la t} \left(\la^2 +2\al\la+\ws \right)                                      \\
-			0                             & = \la^2 +2\al\la+\ws                                                               \\
-			\la_{1,2}                     & = \frac{-2\al\pm\sqrt{(-2\al)^2-4\ws}}{2(-2\al)}                                   \\
+			\ddt{2}\vlt=\la^{2}Ae^{\la t}                                                                                         \\
+			0                             & = \la^2Ae^{\la t} +2\al Ae^{\la t} + \ws Ae^{\la t}                                   \\
+			0                             & = \cancel{Ae^{\la t}} \left(\la^2 +2\al\la+\ws \right)                                \\
+			0                             & = \la^2 +2\al\la+\ws                                                                  \\
+			\la_{1,2}                     & = \frac{-2\al\pm\sqrt{(-2\al)^2-4\ws}}{2}                                             \\
 			\la_{1,2}                     & = -\al\pm\sqrt{\al^2-\ws}
 		\end{align}
 	\end{gather*}
 	Puisque $R$ est de l'ordre des \si{\kohm} et $L$ de l'ordre des \SI{}{\mH}, on peut déterminer
-	sans faire de calculs que l'intérieur de la racine carrée $\wn$ est posifive. Donc nul besoin de
+	sans faire de calculs que l'intérieur de la racine carrée $\wn$ est positive donc nul besoin de
 	passer par notre ami Euler pour déterminer les valeurs de $\la$.
 
 	Nous pouvons maintenant réintégrer
 	ce coefficient dans notre supposition initiale que $\vlt=Ae^{\la t}$.
 
 	\begin{equation}
-		\vlt = A_1e^{(\al-\rootd)t} + A_2e^{(\al+\rootd)t} \\
+		\vlt = A_1e^{(-\al-\rootd)t} + A_2e^{(-\al+\rootd)t} \\
 		\label{eq:vl_straight_decharge}
 	\end{equation}
 
@@ -232,13 +232,13 @@
 
 	\begin{gather*}
 		\begin{align}
-			\vlz & = A_1\cancel{e^0} + A_2\cancel{e^0} = A_1 + A_2 = -12
+			\vlz & = A_1\cancelto{1}{e^0} + A_2\cancelto{1}{e^0} = A_1 + A_2 = -12
 		\end{align}
 	\end{gather*}
 
 	Pour déterminer les constantes $A_1$ et $A_2$, il faudra une deuxième équation dont on connait les
 	charactéristiques à un temps donné. On peut obtenir en dérivant l'équation de $\vlt$ dont
-	il est possible de déterminer les propriétés à $t=0$.
+	il est possible de déterminer les propriétés à $t=0^+$ (\cref{eq:vlt-decharge-deriv}).
 
 	Lors de la simulation \textit{LTspice}, les spécifications de décharge du circuit généraient déjà une
 	régression exponentielle suffisament rapides pour les besoins du circuit. La valeur de $R_2$ (\SI{100}{\kohm})
@@ -247,31 +247,29 @@
 
 	\begin{gather*}
 		\begin{align}
-			R    = \SI{100}{\kohm}
-			         & ;
-			L  = \SI{20}{\mH}; C = \SI{680}{\nF}                                                      \\
-			\al      & = \frac{1\exp{5}}{2\cdot20\exp{-3}} = 2.5\exp{6}                               \\
-			\al^2    & = 6.25\exp{12}                                                                 \\
-			\wz      & =\frac{1}{\sqrt{20\exp{-3}\cdot680\exp{-9}}} = \frac{1}{\sqrt{1.36\exp{-8}}}   \\
-			\ws      & =\frac{1}{1.36\exp{-8}}                                                        \\
-			\rho     & = \sqrt{\al^2-\ws} \quad\text{\footnotesize(variable pour alléger la lecture)} \\
-			\rho     & = \sqrt{6.25\exp{12}-\frac{1}{1.36\exp{-8}}}                                   \\
-			\rho     & = 2499985.2941\ldots                                                           \\
-			\al-\rho & \approx 14.7059                                                                \\
-			\al+\rho & \approx 4'999'999.2941
+			R    = \SI{100}{\kohm} & ;\quad L  = \SI{20}{\mH};\quad C = \SI{680}{\nF}                               \\
+			\al                    & = \frac{1\exp{5}}{2\cdot20\exp{-3}} = 2.5\exp{6}                               \\
+			\al^2                  & = 6.25\exp{12}                                                                 \\
+			\wz                    & =\frac{1}{\sqrt{20\exp{-3}\cdot680\exp{-9}}} = \frac{1}{\sqrt{1.36\exp{-8}}}   \\
+			\ws                    & =\frac{1}{1.36\exp{-8}}                                                        \\
+			\rho                   & = \sqrt{\al^2-\ws} \quad\text{\footnotesize(variable pour alléger la lecture)} \\
+			\rho                   & = \sqrt{6.25\exp{12}-\frac{1}{1.36\exp{-8}}}                                   \\
+			\rho                   & = 2499985.2941\ldots                                                           \\
+			\al-\rho               & \approx 14.7059                                                                \\
+			\al+\rho               & \approx 4'999'999.2941
 		\end{align}
 	\end{gather*}
 	On peut alors dériver l'\cref{eq:vl_straight_decharge} pour obtenir la deuxième équation
 	nécessaire pour déterminer $A_1$ et $A_2$:
-	\begin{gather*}
-		\begin{align}
-			\ddt{}\vlt & =\ddt{}\left( A_1e^{\al-\rho} + A_2e^{\al+\rho}\right)                      \\
-			\ddt{}\vlt & =\ddt{}\left( A_1e^{14.7059t} + A_2e^{4'999'999.2941t}\right)               \\
-			\ddt{}\vlt & = 14.7059\cdot A_1e^{14.7059t} + 4'999'999.2941\cdot A_2e^{4'999'999.2941t} \\
-			\ddt{}\vlz & = 14.7059 A_1\cancel{e^{0}} + 4'999'999.2941 A_2\cancel{e^{0}}
-			\label{eq:bertha_mommy_decharge}
-		\end{align}
-	\end{gather*}
+	\begin{align}
+		\ddt{}\vlt & =\ddt{}\left( A_1e^{\al-\rho} + A_2e^{\al+\rho}\right)                      \\
+		\ddt{}\vlt & =\ddt{}\left( A_1e^{14.7059t} + A_2e^{4'999'999.2941t}\right)               \\
+		\ddt{}\vlt & = 14.7059\cdot A_1e^{14.7059t} + 4'999'999.2941\cdot A_2e^{4'999'999.2941t}
+		\label{eq:vlt-decharge-deriv}                                                            \\
+		\ddt{}\vlz & = 14.7059 A_1\cancelto{1}{e^{0}} + 4'999'999.2941 A_2\cancelto{1}{e^{0}}
+		\label{eq:bertha_mommy_decharge}
+	\end{align}
+
 	Nous connaissons donc la forme de la dérivée de $\vlz$ mais pas sa valeur à
 	$t=0^+$. Toutefois, il est possible d'avoir que des termes dont la condition
 	initiale est connue en remaniant la mise en équation du circuit avec les
@@ -289,7 +287,7 @@
 			\ddt{}\vlt & = \frac{-1}{C}I(t) - \frac{R}{C}\vlt
 		\end{align}
 	\end{gather*}
-	Nous pouvons enfin déterminer la dériver du système au temps $0^+$ puisque tout les termes de droite sont connus:
+	Nous pouvons enfin déterminer la dériver du système à $t=0^+$ puisque tout les termes de droite sont connus:
 	\begin{gather*}
 		\begin{align}
 			I(0^+)     & = 0                                              \\
@@ -322,11 +320,20 @@
 
 	\begin{gather*}
 		\begin{align}
-			\vlt & = \cancel{0e^{(\al-\rootd)t}} -12 e^{-5\exp{6}t} \\
+			\vlt & = \cancelto{0}{0e^{(\al-\rootd)t}} -12 e^{-5\exp{6}t} \\
 			\vlt & = -12 e^{-5\exp{6}t}
 		\end{align}
 	\end{gather*}
 
+	\section{Circuit RC (\texorpdfstring{$C_2$}{TEXT})}
+	\subsection{Charge}
+	\subsection{Décharge}
+
+
+	\section{Circuit RC (\texorpdfstring{$C_3$}{TEXT})}
+	\subsection{Charge}
+	\subsection{Décharge}
+
 
 \end{appendix}
 
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