From 9f779ca581e4d3150b582e6b56ec62667e17987a Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Sarah Gosselin <sarah@gosselin.xyz>
Date: Wed, 4 Dec 2024 04:11:26 -0500
Subject: bigass commit! (charge + decharge RC)

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 annexe/main.tex | 82 ++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++-
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index 4073df5..926eb6e 100644
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+++ b/annexe/main.tex
@@ -116,7 +116,7 @@
 		\ddt{2}V_S = \ddt{2}\vlt + 2\al\ddt{}\vlt + \ws\vlt
 	\end{gather}
 
-	On entame la résolution de l'equation différetielle d'ordre 2 à coéfficient
+	On entame la résolution de l'equation différentielle d'ordre 2 à coéfficient
 	constant et forcé par la solution homogène.
 	Tel que présenté par l'\cref{eq:vlt-charge-generale}.
 	\begin{gather}
@@ -330,7 +330,87 @@
 
 	\section{Circuit RC (\texorpdfstring{$C_2$}{TEXT})}
 	\subsection{Charge}
+	Le circuit RC forme une équation différentielle du premier order forcé et à coefficient constant.
+	Sont but est de réguler la longueur des pulsation envoyé envoyé à l'amplis U2.
+	Ce dernier étant en configuration "Comparateur", on sait que la tension à laquelle le changement
+	s'opère est celle dicté par le diviseur de tension $R_8 = \SI{2}{\kohm}$ et $R_9 = \SI{1}{\kohm}$.
+	\begin{gather}
+		V_x = V_S\frac{R_x}{R_t}\\
+		V_x = 12\frac{R_9}{R_8 = R_9}\\
+		V_x = \SI{4}{\V}
+	\end{gather}
+
+	Les conditions initiales en charge du circuit sont les suivantes:
+	\begin{gather}
+		\vst = \vct + V_D + \vrt \label{eq:rc-charge-base}\\
+		V_S(0) = 12\\
+		V_C(0) = -12\\
+		V_D(0) = 0.6\\
+		V_R(0) = 23.4 \label{eq:rc-charge-init}\\
+	\end{gather}
+
+	En substituant l'\cref{eq:vct} dans l'\cref{eq:rc-charge-base} afin de tout
+	avoir en fonction de $\vrt$:
+	\begin{DispWithArrows}[rr,xoffset=0.4cm]
+		\vst &= \frac{1}{C}\int I\dt + \vrt + V_D
+		\Arrow{\footnotesize Utilisation de \\l'\cref{eq:rc-charge-base}} \\
+		\vst &= \frac{1}{RC}\int\vrt + \vrt + \cancelto{0}{V_D}
+		\Arrow{On applique la dérivé}\\
+		\cancelto{0}{\ddt{}\vst} &= \frac{1}{RC}\vrt + \ddt{}\vrt \label{eq:rc-charge-deriv}
+	\end{DispWithArrows}
+
+	On pose ensuit la fomre standarde des équations différentielle homogène et
+	on l'applique à l'\cref{eq:rc-charge-deriv}.
+	\begin{DispWithArrows}[format=c]
+		V_{R_h} = Ae^{\la t} \Arrow[jump=3,tikz=<-]{On reporte} \label{eq:rc-charge-homo}\\
+		0 = \la Ae^{\la t} + \frac{1}{RC}Ae^{\la t}\\
+		\la\cancelto{1}{Ae^{\la t}} = -\frac{1}{RC}\cancelto{1}{Ae^{\la t}}\\
+		\la = -\frac{1}{RC}
+	\end{DispWithArrows}
+
+	On rapporte ensuite la valeur de $\la$ dans l'\cref{eq:rc-charge-homo} et on
+	trouve la valeur de la constante $A$ à l'aide de la conditions initiale à l'\cref{eq:rc-charge-init}.
+
+	\begin{gather}
+		V_{R_h}(0) = 23.4 = A\cancelto{0}{e^{-\frac{t}{RC}}}\\
+		23.4 = A\\
+		\nonumber\text{Forme finale de l'equation:}\\
+		\vrt = 23.4Ae^{-\frac{t}{RC}} \label{eq:rc-charge-final}
+	\end{gather}
+
+	Un des requis du problème est la longueure des impulsions.
+	Sachant que celle-ci doivent durer \SI{150}{\us} et s'atténuent à une tension de \SI{4}{\V},
+	on peut les imposé à l'\cref{eq:rc-charge-final} afin de trouver la valeur de $R$ qui
+	satisfera le circuit.
+
+	\begin{DispWithArrows}[format=c]
+		V_R(\SI{150}{\us})= 4 = 23.4e^{-\frac{\num{150e-6}}{RC}}\\
+		\frac{4}{23.4} = e^{-\frac{\num{150e-6}}{RC}}\\
+		\ln(\frac{4}{23.4}) = -\frac{\num{150e-6}}{RC}\\
+		R = -\frac{\num{150e-6}}{C\ln(\frac{4}{23.4})} \Arrow{Application \\numérique}\\
+		R_7 = \SI{8491}{\ohm} \xrightarrow{\text{Serie E24}} R_7 = \SI{8.2}{\kohm}
+	\end{DispWithArrows}
+
 	\subsection{Décharge}
+	La décharge du condensateur est indentique à la charge en tout point sauf
+	les conditions initiales et les requis pour l'application numérique servant à
+	déduire $R_6$.
+	Voici les conidions initiales pour la décharge:
+	\begin{gather}
+		\vst = \vct + V_D + \vrt \label{eq:rc-decharge-base}\\
+		V_S(0) = -12\\
+		V_C(0) = 12\\
+		V_D(0) = -0.6\\
+		V_R(0) = -23.4 \label{eq:rc-decharge-init}\\
+	\end{gather}
+
+	Les étapes suivantes sont similaires aux \crefrange{eq:rc-charge-base}{eq:rc-charge-final}
+	à quelques signes près.
+	On obtient donc l'équation $V_R(t)$ suivante:
+	\begin{gather}
+		\vrt = -23.4Ae^{-\frac{t}{RC}} \label{eq:rc-decharge-final}
+	\end{gather}
+
 
 
 	\section{Circuit RC (\texorpdfstring{$C_3$}{TEXT})}
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cgit v1.2.3

