From b0fdd20f4453eae4a6a5d61da1a2db6aff2ab88c Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Sarah Gosselin <sarah@gosselin.xyz>
Date: Tue, 3 Dec 2024 23:55:24 -0500
Subject: finished fucking RLC!!!

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 annexe/main.tex | 32 +++++++++++++++++++++++++++-----
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index 7e4f7c2..7f177ab 100644
--- a/annexe/main.tex
+++ b/annexe/main.tex
@@ -139,7 +139,7 @@
 		V_{L_h} = e^{-\al t}\left[A_1\cos(\wn t) + A_1j\sin(\wn t) + A_2\cos(\wn t) - A_2j\sin(\wn t)\right]\\
 		V_{L_h} = e^{-\al t}\left[\underbrace{(A_1+A_2)}_{C_1}\cos(\wn t)
 			+ \underbrace{(A_1-A_2)j}_{C_2}\sin(\wn t)\right]\\
-		V_{L_h} = e^{-\al t}\left[C_1\cos(\wn t) + C_2\sin(\wn t)\right]
+		V_{L_h} = e^{-\al t}\left[C_1\cos(\wn t) + C_2\sin(\wn t)\right]\label{eq:vlh-sol-homo}
 	\end{gather}
 
 	Ayant maintenant la solution homogène, il faudrait trouvé la solution particulière
@@ -166,10 +166,32 @@
 		\ddt{}\vlz = -24000 \ \text{\footnotesize(Provenant de l'\cref{eq:cond-init-deriv-charge})}
 	\end{gather}
 
-	Il est maintenant possible de trouver $C_1$ et $C_2$ en se servant de l'\cref{eq:vlt-sol-generale}.
-	% \begin{gather}
-	% 	\vlz
-	% \end{gather}
+	Puisque la condition initiale de l'\cref{eq:cond-init-deriv-charge} requiert la dérivé
+	de $V_{L_g}$ (\cref{eq:vst-initiale-charge}):
+	\begin{gather}
+		\ddt{}V_{L_g} = -\al e^{-\al t}\left[C_1\cos(\wn t) + C_2\sin(\wn t)\right] +
+		e^{-\al t}\left[-C_1\wn\sin(\wn t) - C_2\wn\cos(\wn t)\right] \\
+		\ddt{}V_{L_g} = -e^{-\al t}\left[C_1\al\cos(\wn t) + C_2\al\sin(\wn t) +
+			C_1\wn\sin(\wn t) - C_2\wn\cos(\wn t)\right] \label{eq:grosse-criss-de-derivee}
+	\end{gather}
+
+	Il est maintenant possible de trouver $C_1$ et $C_2$ en se servant de l'\cref{eq:vlh-sol-homo}
+	et de l'\cref{eq:grosse-criss-de-derivee}
+	\begin{gather}
+		V_{L_h}(0) = 12 = \cancelto{1}{e^{-\al t}}\left[C_1\cancelto{1}{\cos(\wn t)} +
+			\cancelto{0}{C_2\sin(\wn t)}\right]\\
+		12 = C_1\\
+		\ddt{}V_{L_g}(0) = -24000 = \cancelto{1}{-e^{-\al t}}
+		\left[12\al\cancelto{1}{\cos(\wn t)} + \cancelto{0}{C_2\al\sin(\wn t)} +
+			\cancelto{0}{12\wn\sin(\wn t)} - C_2\wn\cancelto{1}{\cos(\wn t)}\right]\\
+		-24000 = -12\al + C_2\wn\\
+		C_2 = \frac{-24000 + 12\al}{\wn} = -1.654
+	\end{gather}
+
+	Avec les valeurs de $C_1$ et $C_2$ il est maintenant possible d'ecrire la fonction $\vlt$ complète.
+	\begin{gather}
+		\vlt = e^{-\al t}\left[12\cos(\wn t) - 1.654\sin(\wn t)\right]
+	\end{gather}
 
 
 
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cgit v1.2.3

