From c86113a8966a256851bcf80c9bfbff1fc44af1ae Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Sarah Gosselin <sarah@gosselin.xyz>
Date: Tue, 3 Dec 2024 22:46:58 -0500
Subject: dying slowly

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 annexe/main.tex | 31 ++++++++++++++++++++++++++++---
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index c1c2b93..78acfdc 100644
--- a/annexe/main.tex
+++ b/annexe/main.tex
@@ -107,12 +107,13 @@
 
 
 	\begin{gather}
-		\vst = \vct + \vrt + \vlt \\
+		\vst = \vct + \vrt + \vlt \label{eq:vst-initiale-charge}\\
 		\vst = \frac{1}{C}\int I(t) \dt + RI(t) + \vlt \\
 		\vst = \frac{1}{CL} \iint \vlt \dt\ \dt + \frac{R}{L}\int\vlt\dt + \vlt\\
 		\nonumber \text{On substitue les termes $R, L, C$ par les \cref{eq:alpha,eq:omega_0}}\\
 		\ddt{2}V_S = \ddt{2}\vlt + 2\al\ddt{}\vlt + \omega^2\vlt\\
 	\end{gather}
+
 	On entame la résolution de l'equation différetielle d'ordre 2 à coéfficient
 	constant et forcé par la solution homogène.
 	Tel que présenté par l'\cref{eq:vlt-charge-generale}.
@@ -131,7 +132,32 @@
 			V_{L_h} &= e^{-\al t}\left(A_1e^{j\wn t} + A_2e^{-j\wn t}\right)
 		\end{WithArrows}
 	\end{gather}
-	On prend utilise ensuite la formule d'Euler afin de résoudre l'équation.
+
+	On utilise ensuite la formule d'Euler afin de résoudre l'équation.
+	\begin{gather}
+		V_{L_h} = e^{-\al t}\left[A_1\cos(\wn t) + A_1j\sin(\wn t) + A_2\cos(\wn t) - A_2j\sin(\wn t)\right]\\
+		V_{L_h} = e^{-\al t}\left[\underbrace{(A_1+A_2)}_{C_1}\cos(\wn t)
+			+ \underbrace{(A_1-A_2)j}_{C_2}\sin(\wn t)\right]\\
+		V_{L_h} = e^{-\al t}\left[C_1\cos(\wn t) + C_2\sin(\wn t)\right]
+	\end{gather}
+
+	Ayant maintenant la solution homogène, il faudrait trouvé la solution particulière
+	afin d'arriver à l'\cref{eq:vlt-charge-generale}
+	Les conditions initiales sont trouvé en se basant sur l'\cref{eq:vst-initiale-charge}:
+	\begin{DispWithArrows}
+		\ddt{}\vst &= \ddt{}\vct + \ddt{}\vrt + \ddt{}\vlt \Arrow{\footnotesize Isoler $\vlt$}\\
+		\ddt{}\vlt &=
+		\cancelto{0}{\ddt{}\vst} - \underbrace{\ddt{}\vct}_{\text{\cref{eq:vct}}} -
+		\underbrace{\ddt{}\vrt}_{\text{\cref{eq:vri}}} \Arrow{\footnotesize Se simplifie} \\
+		\vlt &= \cancelto{0}{\frac{I_C(0)}{C}} - \frac{R}{L}\vlz \label{eq:cond-init-deriv-charge}
+	\end{DispWithArrows}
+
+	Les conditions initiales sont donc:
+	\begin{gather}
+		\vlz = 12 \ \text{\footnotesize(Provenant de l'\cref{eq:vst-initiale-charge})} \\
+		\ddt{}\vlz = -24000 \ \text{\footnotesize(Provenant de l'\cref{eq:cond-init-deriv-charge})}
+	\end{gather}
+
 
 	\subsection{Décharge}
 	\begin{gather*}
@@ -143,7 +169,6 @@
 			0         & = \ddt{2}\vlt+ \frac{R}{L}\ddt{}\vlt +\frac{1}{LC}\vlt                             \\
 			0         & = \ddt{2}+\vlt+2\al\ddt{}\vlt+\ws                                                  \\
 			\nonumber\text{Posons que: }
-			          &
 			\vlt=Ae^{\la t} \Rightarrow
 			\ddt{}\vlt=\la Ae^{\la t} \Rightarrow
 			\ddt{2}\vlt=\la^{2}Ae^{\la t}                                                                  \\
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cgit v1.2.3

