\documentclass[a11paper, 11pt]{article}
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\newcommand{\todo}[1]{\begin{color}{Red}\textbf{TODO:} #1\end{color}}
\newcommand{\fixme}[1]{\begin{color}{Fuchsia}\textbf{FIXME:} #1\end{color}}
\newcommand{\question}[1]{\begin{color}{ForestGreen}\textbf{QUESTION:} #1\end{color}}

% \d{x} command for integral delimiters
\renewcommand{\d}[1]{\mathrm{d}#1}
\newcommand{\dt}{\mathrm{d}t}
\newcommand{\ddt}[1]{\frac{\text{d}^{#1}}{\text{d}t^{#1}}}
\newcommand{\vlt}{V_L(t)}
\newcommand{\vct}{V_C(t)}
\newcommand{\vrt}{V_R(t)}
\newcommand{\vst}{V_S(t)}
\newcommand{\vlz}{V_L(0^+)}

\newcommand{\ilt}{I_L(t)}
\newcommand{\ict}{I_C(t)}

\newcommand{\al}{\alpha}
\newcommand{\la}{\lambda}
\newcommand{\wz}{\omega_{0}}
\newcommand{\ws}{\omega_{0}^2}
\newcommand{\wn}{\omega_{\mathrm{n}}}

\renewcommand{\exp}[1]{\times10^{#1}}

\newcommand{\rootd}{\sqrt{\al^2-\ws}}


\DeclareSIPrefix{\micro}{%
  \text{%
    \fontencoding{TS1}\fontfamily{kurier}\selectfont
    \symbol{"B5}%
  }%
}{-6}

% \addbibresource{bibliography.bib}
% \institution{Université de Sherbrooke}
% \faculty{Faculté de génie}
% \department{Département de génie électrique et de génie informatique}
\title{Annexe de résolution à la problématique}
\class{Circuits et systèmes du deuxième ordre}
\classnb{GEN111,GEN136,GEN122}
\author{
  \addtolength{\tabcolsep}{-0.4em}
  \begin{tabular}{rcl} % Ajouter des auteurs au besoin
      Benjamin Chausse & -- & CHAB1704 \\
      Sarah Gosselin   & -- & GOSS3005 \\
  \end{tabular}
}
\teacher{Jean-Philippe Gouin}
% \location{Sherbrooke}
% \date{\today}

\begin{document}
\maketitle
\newpage

\begin{appendix}
	\section{Outils mathématiques (Bible)}
	\label{sec:bible}
	Les fonction suivantes seront utilisées et référencé tout au long de l'annexe.

	\begin{gather}
		\vct = \frac{1}{C}\int\ict \dt \label{eq:vct}\\
		\ict = C\frac{\text{d}}{\dt}\vct \label{eq:ict}\\
		\nonumber\\
		\vlt = L\frac{\text{d}}{\dt}\ilt \label{eq:vlt}\\
		\ilt = \frac{1}{L}\int \vlt\dt \label{eq:ilt}\\
		\nonumber\\
		V(t) = RI(t) \label{eq:vri}\\
		\nonumber\\
		\al = \frac{R}{2L} \label{eq:alpha}\\
		\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}} \label{eq:omega_0}\\
		\omega_n = \sqrt{\omega_0^2 - \al^2 \label{eq:omega_n}}
	\end{gather}

	\newpage
	\section{Circuit RLC}
	\subsection{Charge}
	On pose l'équation de l'état du circuit au temp $t(0)$ et on substitue pour
	avoir en fonction de $\vlt$.
	Puisque que circuit simplifié est constituer d'une seule boucle, le courant
	se simplifie comme suit: $I_C = I_R = I_V = I$.


	\begin{gather}
		\vst = \vct + \vrt + \vlt \label{eq:vst-initiale-charge}\\
		\vst = \frac{1}{C}\int I(t) \dt + RI(t) + \vlt \\
		\vst = \frac{1}{CL} \iint \vlt \dt\ \dt + \frac{R}{L}\int\vlt\dt + \vlt\\
		\nonumber \text{On substitue les termes $R, L, C$ par les \cref{eq:alpha,eq:omega_0}}\\
		\ddt{2}V_S = \ddt{2}\vlt + 2\al\ddt{}\vlt + \omega^2\vlt\\
	\end{gather}

	On entame la résolution de l'equation différetielle d'ordre 2 à coéfficient
	constant et forcé par la solution homogène.
	Tel que présenté par l'\cref{eq:vlt-charge-generale}.
	\begin{gather}
		\vlt = V_{L_h} + V_{L_p} \label{eq:vlt-charge-generale}\\
		\nonumber \text{On pose la forme de la solution homogène: } V_{L_h} = Ae^{\la t} = 0\\
		0 = \la^2Ae^{\la t} + 2\al\la Ae^{\la t} + \omega_0^2Ae^{\la t}\\
		0 = \cancelto{0}{Ae^{\la t}}\left(\la^2 + 2\al\la + \omega_0\right)\\
		\la_{1,2} = \frac{-2\al \pm \sqrt{(2\al)^2 - 4\omega_0^2}}{2}\\
		\la_{1,2} = -\al\pm\sqrt{\al^2 - \omega_0^2}\\
		\nonumber\text{Puisque le discriminant est négatif, on le multiplie par $-1$,}\\
		\nonumber\text{on sort $j$ et on simplifie avec l'\cref{eq:omega_n}.}\\
		\la_{1,2} = -\al\pm j\omega_n\\
		\begin{WithArrows}
			V_{L_h} &= A_1e^{(-\al+j\wn)t} + A_2e^{(-\al+j\wn)t} \Arrow{Se simplifie} \\
			V_{L_h} &= e^{-\al t}\left(A_1e^{j\wn t} + A_2e^{-j\wn t}\right)
		\end{WithArrows}
	\end{gather}

	On utilise ensuite la formule d'Euler afin de résoudre l'équation.
	\begin{gather}
		V_{L_h} = e^{-\al t}\left[A_1\cos(\wn t) + A_1j\sin(\wn t) + A_2\cos(\wn t) - A_2j\sin(\wn t)\right]\\
		V_{L_h} = e^{-\al t}\left[\underbrace{(A_1+A_2)}_{C_1}\cos(\wn t)
			+ \underbrace{(A_1-A_2)j}_{C_2}\sin(\wn t)\right]\\
		V_{L_h} = e^{-\al t}\left[C_1\cos(\wn t) + C_2\sin(\wn t)\right]
	\end{gather}

	Ayant maintenant la solution homogène, il faudrait trouvé la solution particulière
	afin d'arriver à l'\cref{eq:vlt-charge-generale}
	Les conditions initiales sont trouvé en se basant sur l'\cref{eq:vst-initiale-charge}:
	\begin{DispWithArrows}
		\ddt{}\vst &= \ddt{}\vct + \ddt{}\vrt + \ddt{}\vlt \Arrow{\footnotesize Isoler $\vlt$}\\
		\ddt{}\vlt &=
		\cancelto{0}{\ddt{}\vst} - \underbrace{\ddt{}\vct}_{\text{\cref{eq:vct}}} -
		\underbrace{\ddt{}\vrt}_{\text{\cref{eq:vri}}} \Arrow{\footnotesize Se simplifie} \\
		\vlt &= \cancelto{0}{\frac{I_C(0)}{C}} - \frac{R}{L}\vlz \label{eq:cond-init-deriv-charge}
	\end{DispWithArrows}

	Les conditions initiales sont donc:
	\begin{gather}
		\vlz = 12 \ \text{\footnotesize(Provenant de l'\cref{eq:vst-initiale-charge})} \\
		\ddt{}\vlz = -24000 \ \text{\footnotesize(Provenant de l'\cref{eq:cond-init-deriv-charge})}
	\end{gather}


	\subsection{Décharge}
	\begin{gather*}
		\begin{align}
			0         & = \vlt + V_C(t) + V_R(t)                                                           \\
			\label{eq:rlc_decharge_initial}
			0         & = \vlt+\frac{1}{C}\int I_(t)\dt + R_I(t)                                           \\
			0         & = \ddt{2}\left[ \vlt + \frac{1}{LC}\iint\vlt\dt^2 + \frac{R}{L}\ddt{} \vlt \right] \\
			0         & = \ddt{2}\vlt+ \frac{R}{L}\ddt{}\vlt +\frac{1}{LC}\vlt                             \\
			0         & = \ddt{2}+\vlt+2\al\ddt{}\vlt+\ws                                                  \\
			\nonumber\text{Posons que: }
			\vlt=Ae^{\la t} \Rightarrow
			\ddt{}\vlt=\la Ae^{\la t} \Rightarrow
			\ddt{2}\vlt=\la^{2}Ae^{\la t}                                                                  \\
			0         & = \la^2Ae^{\la t} +2\al Ae^{\la t} + \ws Ae^{\la t}                                \\
			0         & = Ae^{\la t} \left(\la^2 +2\al\la+\ws \right)                                      \\
			0         & = \la^2 +2\al\la+\ws                                                               \\
			\la_{1,2} & = \frac{-2\al\pm\sqrt{(-2\al)^2-4\ws}}{2(-2\al)}                                   \\
			\la_{1,2} & = -\al\pm\sqrt{\al^2-\ws}
		\end{align}
	\end{gather*}
	Puisque $R$ est de l'ordre des \si{\kohm} et $L$ de l'ordre des \SI{}{\mH}, on peut déterminer
	sans faire de calculs que l'intérieur de la racine carrée $\wn$ est posifive. Donc nul besoin de
	passer par notre ami Euler pour déterminer les valeurs de $\la$.

	Nous pouvons maintenant réintégrer
	ce coefficient dans notre supposition initiale que $\vlt=Ae^{\la t}$.

	\begin{equation}
		\vlt = A_1e^{(\al-\rootd)t} + A_2e^{(\al+\rootd)t} \\
		\label{eq:vl_straight_decharge}
	\end{equation}

	Du même coup, le résultat de cette expression évaluée à $t=0^+$ sera utille pour isoler $A_1$ et $A_2$
	plus tard. La voici donc:

	\begin{gather*}
		\begin{align}
			\vlz & = A_1\cancel{e^0} + A_2\cancel{e^0} = A_1 + A_2 = -12
		\end{align}
	\end{gather*}

	Pour déterminer les constantes $A_1$ et $A_2$, il faudra une deuxième équation dont on connait les
	charactéristiques à un temps donné. On peut obtenir en dérivant l'équation de $\vlt$ dont
	il est possible de déterminer les propriétés à $t=0$.

	Lors de la simulation \textit{LTspice}, les spécifications de décharge du circuit généraient déjà une
	régression exponentielle suffisament rapides pour les besoins du circuit. La valeur de $R_2$ (\SI{100}{\kohm})
	est donc gardée idem puis utilisée dans le calcul de la dérivée pour en simplifier la résolution. La résistance $R_1$
	est négligée puisque sa valeur est moindre face à la tolérance $\pm 5\%$ de $R_2$.

	\begin{gather*}
		\begin{align}
			R    = \SI{100}{\kohm}
			         & ;
			L  = \SI{20}{\mH}; C = \SI{680}{\nF}                                                      \\
			\al      & = \frac{1\exp{5}}{2\cdot20\exp{-3}} = 2.5\exp{6}                               \\
			\al^2    & = 6.25\exp{12}                                                                 \\
			\wz      & =\frac{1}{\sqrt{20\exp{-3}\cdot680\exp{-9}}} = \frac{1}{\sqrt{1.36\exp{-8}}}   \\
			\ws      & =\frac{1}{1.36\exp{-8}}                                                        \\
			\rho     & = \sqrt{\al^2-\ws} \quad\text{\footnotesize(variable pour alléger la lecture)} \\
			\rho     & = \sqrt{6.25\exp{12}-\frac{1}{1.36\exp{-8}}}                                   \\
			\rho     & = 2499985.2941\ldots                                                           \\
			\al-\rho & \approx 14.7059                                                                \\
			\al+\rho & \approx 4'999'999.2941
		\end{align}
	\end{gather*}
	On peut alors dériver l'\cref{eq:vl_straight_decharge} pour obtenir la deuxième équation
	nécessaire pour déterminer $A_1$ et $A_2$:
	\begin{gather*}
		\begin{align}
			\ddt{}\vlt & =\ddt{}\left( A_1e^{\al-\rho} + A_2e^{\al+\rho}\right)                      \\
			\ddt{}\vlt & =\ddt{}\left( A_1e^{14.7059t} + A_2e^{4'999'999.2941t}\right)               \\
			\ddt{}\vlt & = 14.7059\cdot A_1e^{14.7059t} + 4'999'999.2941\cdot A_2e^{4'999'999.2941t} \\
			\ddt{}\vlz & = 14.7059 A_1\cancel{e^{0}} + 4'999'999.2941 A_2\cancel{e^{0}}
			\label{eq:bertha_mommy_decharge}
		\end{align}
	\end{gather*}
	Nous connaissons donc la forme de la dérivée de $\vlz$ mais pas sa valeur à
	$t=0^+$. Toutefois, il est possible d'avoir que des termes dont la condition
	initiale est connue en remaniant la mise en équation du circuit avec les
	équations de l'\cref{sec:bible}:
	\begin{gather*}
		\begin{align}
			0          & = \ddt{}\vlt + \ddt{}V_C(t) + \ddt{}V_R(t)\quad \\
			\ddt{}\vlt & =  - \ddt{}V_C(t) - \ddt{}V_R(t)                \\
			\ddt{}\vlt & = \frac{-1}{C}I(t) - R\ddt{}I(t)
		\end{align}
	\end{gather*}
	En réarangeant les termes de l'\cref{eq:vlt}, nous pouvons substituer $\ddt{}I(t)$ pour obtenir:
	\begin{gather*}
		\begin{align}
			\ddt{}\vlt & = \frac{-1}{C}I(t) - \frac{R}{C}\vlt
		\end{align}
	\end{gather*}
	Nous pouvons enfin déterminer la dériver du système au temps $0^+$ puisque tout les termes de droite sont connus:
	\begin{gather*}
		\begin{align}
			I(0^+)     & = 0                                              \\
			\vlz       & = -12                                            \\
			\ddt{}\vlz & =  0  - 12\frac{1\exp{5}}{20\exp{-3}} = 6\exp{7}
		\end{align}
	\end{gather*}
	Il est maintenant possible d'isoler $A_1$ et $A_2$ en résolvant un système d'équations.
	\begin{gather*}
		\begin{align}
			-12 = A_1 + A_2 \Rightarrow -176.4708 = 14.7059A_1 + 14.7059A_2
		\end{align}
	\end{gather*}
	Il est maintenant trivial d'isoler $A_2$:
	\begin{gather*}
		\begin{array}{l@{\quad}cr@{}ll}
			                   &  & -176.4708 & {}=        \cancel{14.7059A_1} & + 14.7059A_2         \\
			\text{\bfseries--} &  & 6\exp{7}  & {}= \cancel{14.7059 A_1}       & + 4'999'999.2941 A_2 \\ \cline{2-5}
			\approx            &  & 6\exp{7}  & {}= 0                          & -4'999'999.2941 A_2
		\end{array}
	\end{gather*}
	\begin{gather*}
		\begin{align}
			A_2 & \approx -\frac{6\exp{7}}{5\exp{6}} = -12 \\
			-12 & = A_1 + A_2                              \\
			A_1 & = 0
		\end{align}
	\end{gather*}
	La solution de la décharge est donc:

	\begin{gather*}
		\begin{align}
			\vlt & = \cancel{0e^{(\al-\rootd)t}} -12 e^{-5\exp{6}t} \\
			\vlt & = -12 e^{-5\exp{6}t}
		\end{align}
	\end{gather*}


\end{appendix}

\end{document}

