\documentclass[a11paper, 11pt]{article} % xelatex \usepackage{titlepage} \usepackage{document} \usepackage{booktabs} \usepackage{bookmark} \usepackage{subcaption} % \usepackage[american]{circuitikz} \usepackage{float} \usepackage{multicol} \usepackage{siunitx} \usepackage{amsmath} \usepackage{mathtools} \usepackage{cancel} \usepackage{witharrows} \usepackage[dvipsnames]{xcolor} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage{csquotes} \usepackage[french]{babel} \usepackage{hyperref} \usepackage[french]{cleveref} \newcommand{\note}[1]{\begin{color}{Orange}\textbf{NOTE:} #1\end{color}} \newcommand{\todo}[1]{\begin{color}{Red}\textbf{TODO:} #1\end{color}} \newcommand{\fixme}[1]{\begin{color}{Fuchsia}\textbf{FIXME:} #1\end{color}} \newcommand{\question}[1]{\begin{color}{ForestGreen}\textbf{QUESTION:} #1\end{color}} % \d{x} command for integral delimiters \renewcommand{\d}[1]{\mathrm{d}#1} \newcommand{\dt}{\mathrm{d}t} \newcommand{\ddt}[1]{\frac{\text{d}^{#1}}{\text{d}t^{#1}}} \newcommand{\vlt}{V_L(t)} \newcommand{\vct}{V_C(t)} \newcommand{\vrt}{V_R(t)} \newcommand{\vst}{V_S(t)} \newcommand{\vlz}{V_L(0^+)} \newcommand{\ilt}{I_L(t)} \newcommand{\ict}{I_C(t)} \newcommand{\al}{\alpha} \newcommand{\la}{\lambda} \newcommand{\wz}{\omega_{0}} \newcommand{\ws}{\omega_{0}^2} \newcommand{\wn}{\omega_{\mathrm{n}}} \renewcommand{\exp}[1]{\times10^{#1}} \newcommand{\rootd}{\sqrt{\al^2-\ws}} \DeclareSIPrefix{\micro}{% \text{% \fontencoding{TS1}\fontfamily{kurier}\selectfont \symbol{"B5}% }% }{-6} % \addbibresource{bibliography.bib} % \institution{Université de Sherbrooke} % \faculty{Faculté de génie} % \department{Département de génie électrique et de génie informatique} \title{Annexe de résolution à la problématique} \class{Circuits et systèmes du deuxième ordre} \classnb{GEN111,GEN136,GEN122} \author{ \addtolength{\tabcolsep}{-0.4em} \begin{tabular}{rcl} % Ajouter des auteurs au besoin Benjamin Chausse & -- & CHAB1704 \\ Sarah Gosselin & -- & GOSS3005 \\ \end{tabular} } \teacher{Jean-Philippe Gouin} % \location{Sherbrooke} % \date{\today} \begin{document} \maketitle \newpage \begin{appendix} \section{Outils mathématiques (Bible)} \label{sec:bible} Les fonction suivantes seront utilisées et référencé tout au long de l'annexe. \begin{gather} \vct = \frac{1}{C}\int\ict \dt \label{eq:vct}\\ \ict = C\frac{\text{d}}{\dt}\vct \label{eq:ict}\\ \nonumber\\ \vlt = L\frac{\text{d}}{\dt}\ilt \label{eq:vlt}\\ \ilt = \frac{1}{L}\int \vlt\dt \label{eq:ilt}\\ \nonumber\\ V(t) = RI(t) \label{eq:vri}\\ \nonumber\\ \al = \frac{R}{2L} \label{eq:alpha}\\ \wz = \frac{1}{\sqrt{LC}} \label{eq:omega_0}\\ \omega_n = \sqrt{\ws - \al^2 \label{eq:omega_n}} \\ e^{j\theta} = \cos(\theta) + j\sin(\theta) \label{eq:euler} \end{gather} \newpage \section{Circuit RLC} \subsection{Charge} On pose l'équation de l'état du circuit au temp $t(0)$ et on substitue pour avoir en fonction de $\vlt$. Puisque que circuit simplifié est constitué d'une seule boucle, le courant se simplifie comme suit: $I_C = I_R = I_V = I$. \begin{gather} \vst = \vct + \vrt + \vlt \label{eq:vst-initiale-charge}\\ \vst = \frac{1}{C}\int I(t) \dt + RI(t) + \vlt \\ \vst = \frac{1}{CL} \iint \vlt \dt\ \dt + \frac{R}{L}\int\vlt\dt + \vlt\\ \nonumber \text{On substitue les termes $R, L, C$ par les \cref{eq:alpha,eq:omega_0}}\\ \ddt{2}V_S = \ddt{2}\vlt + 2\al\ddt{}\vlt + \ws\vlt \end{gather} On entame la résolution de l'equation différentielle d'ordre 2 à coéfficient constant et forcé par la solution homogène. Tel que présenté par l'\cref{eq:vlt-charge-generale}. \begin{gather} V_{L_g} = V_{L_h} + V_{L_p} \label{eq:vlt-charge-generale}\\ \nonumber \text{On pose la forme de la solution homogène: } V_{L_h} = Ae^{\la t} = 0\\ 0 = \la^2Ae^{\la t} + 2\al\la Ae^{\la t} + \ws Ae^{\la t}\\ 0 = \cancelto{0}{Ae^{\la t}}\left(\la^2 + 2\al\la + \wz\right)\\ \la_{1,2} = \frac{-2\al \pm \sqrt{(2\al)^2 - 4\ws }}{2}\\ \la_{1,2} = -\al\pm\sqrt{\al^2 - \ws }\\ \nonumber\text{Puisque le discriminant est négatif, on le multiplie par $-1$,}\\ \nonumber\text{on sort $j$ et on simplifie avec l'\cref{eq:omega_n}.}\\ \la_{1,2} = -\al\pm j\omega_n\\ \begin{WithArrows} V_{L_h} &= A_1e^{(-\al+j\wn)t} + A_2e^{(-\al+j\wn)t} \Arrow{Se simplifie} \\ V_{L_h} &= e^{-\al t}\left(A_1e^{j\wn t} + A_2e^{-j\wn t}\right) \end{WithArrows} \end{gather} On utilise ensuite la formule d'Euler afin de résoudre l'équation. \begin{gather} V_{L_h} = e^{-\al t}\left[A_1\cos(\wn t) + A_1j\sin(\wn t) + A_2\cos(\wn t) - A_2j\sin(\wn t)\right]\\ V_{L_h} = e^{-\al t}\left[\underbrace{(A_1+A_2)}_{C_1}\cos(\wn t) + \underbrace{(A_1-A_2)j}_{C_2}\sin(\wn t)\right]\\ V_{L_h} = e^{-\al t}\left[C_1\cos(\wn t) + C_2\sin(\wn t)\right]\label{eq:vlh-sol-homo} \end{gather} Ayant maintenant la solution homogène, il faudrait trouver la solution particulière afin d'arriver à l'\cref{eq:vlt-charge-generale} Cependant, puisque le terme forcé est une constante, la solution particulière $V_{L_p}$ basé sur sa dérivée est donc nulle. \begin{gather} V_{L_g} = V_{L_h} + \cancelto{0}{V_{L_p}}\label{eq:vlt-sol-generale} \end{gather} Les conditions initiales sont trouvées en se basant sur l'\cref{eq:vst-initiale-charge}: \begin{DispWithArrows} \ddt{}\vst &= \ddt{}\vct + \ddt{}\vrt + \ddt{}\vlt \Arrow{\footnotesize Isoler $\vlt$}\\ \ddt{}\vlt &= \cancelto{0}{\ddt{}\vst} - \underbrace{\ddt{}\vct}_{\text{\cref{eq:vct}}} - \underbrace{\ddt{}\vrt}_{\text{\cref{eq:vri}}} \Arrow{\footnotesize Se simplifie} \\ \vlt &= \cancelto{0}{\frac{I_C(0)}{C}} - \frac{R}{L}\vlz \label{eq:cond-init-deriv-charge} \end{DispWithArrows} Les conditions initiales sont donc: \begin{gather} \vlz = 12 \ \text{\footnotesize(Provenant de l'\cref{eq:vst-initiale-charge})} \\ \ddt{}\vlz = -24000 \ \text{\footnotesize(Provenant de l'\cref{eq:cond-init-deriv-charge})} \end{gather} Puisque la condition initiale de l'\cref{eq:cond-init-deriv-charge} requiert la dérivé de $V_{L_g}$ (\cref{eq:vst-initiale-charge}): \begin{gather} \ddt{}V_{L_g} = -\al e^{-\al t}\left[C_1\cos(\wn t) + C_2\sin(\wn t)\right] + e^{-\al t}\left[-C_1\wn\sin(\wn t) - C_2\wn\cos(\wn t)\right] \\ \ddt{}V_{L_g} = -e^{-\al t}\left[C_1\al\cos(\wn t) + C_2\al\sin(\wn t) + C_1\wn\sin(\wn t) - C_2\wn\cos(\wn t)\right] \label{eq:grosse-criss-de-derivee} \end{gather} Il est maintenant possible de trouver $C_1$ et $C_2$ en se servant de l'\cref{eq:vlh-sol-homo} et de l'\cref{eq:grosse-criss-de-derivee} \begin{gather} V_{L_h}(0) = 12 = \cancelto{1}{e^{-\al t}}\left[C_1\cancelto{1}{\cos(\wn t)} + \cancelto{0}{C_2\sin(\wn t)}\right]\\ 12 = C_1\\ \ddt{}V_{L_g}(0) = -24000 = \cancelto{1}{-e^{-\al t}} \left[12\al\cancelto{1}{\cos(\wn t)} + \cancelto{0}{C_2\al\sin(\wn t)} + \cancelto{0}{12\wn\sin(\wn t)} - C_2\wn\cancelto{1}{\cos(\wn t)}\right]\\ -24000 = -12\al + C_2\wn\\ C_2 = \frac{-24000 + 12\al}{\wn} = -1.41 \\ \vlt = e^{-\al t}\left[12\cos(\wn t) - 1.41\sin(\wn t)\right] \end{gather} Avec les valeurs de $C_1$ et $C_2$ il est maintenant possible d'écrire la fonction $\vlt$ complète. \begin{gather} \al = 1000;\quad \wn = 8516.42; \\ \vlt = e^{-1000t}\left[12\cos(8516.42 t) - 1.41\sin(8516.42 t)\right] \end{gather} \subsection{Décharge} \begin{gather*} \begin{align} 0 & = \vlt + V_C(t) + V_R(t) \\ \label{eq:rlc_decharge_initial} 0 & = \vlt+\frac{1}{C}\int \ilt\dt + R_I(t) \\ 0 & = \ddt{2}\left[ \vlt + \frac{1}{LC}\iint\vlt\dt\ \dt + \frac{R}{L}\ddt{} \vlt \right] \\ 0 & = \ddt{2}\vlt+ \frac{R}{L}\ddt{}\vlt +\frac{1}{LC}\vlt \\ 0 & = \ddt{2}\vlt+2\al\ddt{}\vlt+\ws \\ \nonumber \text{Posons que: } & \vlt=Ae^{\la t} \Rightarrow \ddt{}\vlt=\la Ae^{\la t} \Rightarrow \ddt{2}\vlt=\la^{2}Ae^{\la t} \\ 0 & = \la^2Ae^{\la t} +2\al Ae^{\la t} + \ws Ae^{\la t} \\ 0 & = \cancel{Ae^{\la t}} \left(\la^2 +2\al\la+\ws \right) \\ 0 & = \la^2 +2\al\la+\ws \\ \la_{1,2} & = \frac{-2\al\pm\sqrt{(-2\al)^2-4\ws}}{2} \\ \la_{1,2} & = -\al\pm\sqrt{\al^2-\ws} \end{align} \end{gather*} Puisque $R$ est de l'ordre des \si{\kohm} et $L$ de l'ordre des \SI{}{\mH}, on peut déterminer sans faire de calculs que l'intérieur de la racine carrée $\wn$ est positive donc nul besoin de passer par notre ami Euler pour déterminer les valeurs de $\la$. Nous pouvons maintenant réintégrer ce coefficient dans notre supposition initiale que $\vlt=Ae^{\la t}$. \begin{equation} \vlt = A_1e^{(-\al-\rootd)t} + A_2e^{(-\al+\rootd)t} \\ \label{eq:vl_straight_decharge} \end{equation} Du même coup, le résultat de cette expression évaluée à $t=0^+$ sera utille pour isoler $A_1$ et $A_2$ plus tard. La voici donc: \begin{gather*} \begin{align} \vlz & = A_1\cancelto{1}{e^0} + A_2\cancelto{1}{e^0} = A_1 + A_2 = -12 \end{align} \end{gather*} Pour déterminer les constantes $A_1$ et $A_2$, il faudra une deuxième équation dont on connait les charactéristiques à un temps donné. On peut obtenir en dérivant l'équation de $\vlt$ dont il est possible de déterminer les propriétés à $t=0^+$ (\cref{eq:vlt-decharge-deriv}). Lors de la simulation \textit{LTspice}, les spécifications de décharge du circuit généraient déjà une régression exponentielle suffisament rapides pour les besoins du circuit. La valeur de $R_2$ (\SI{100}{\kohm}) est donc gardée idem puis utilisée dans le calcul de la dérivée pour en simplifier la résolution. La résistance $R_1$ est négligée puisque sa valeur est moindre face à la tolérance $\pm 5\%$ de $R_2$. \begin{gather*} \begin{align} R = \SI{100}{\kohm} & ;\quad L = \SI{20}{\mH};\quad C = \SI{680}{\nF} \\ \al & = \frac{1\exp{5}}{2\cdot20\exp{-3}} = 2.5\exp{6} \\ \al^2 & = 6.25\exp{12} \\ \wz & =\frac{1}{\sqrt{20\exp{-3}\cdot680\exp{-9}}} = \frac{1}{\sqrt{1.36\exp{-8}}} \\ \ws & =\frac{1}{1.36\exp{-8}} \\ \rho & = \sqrt{\al^2-\ws} \quad\text{\footnotesize(variable pour alléger la lecture)} \\ \rho & = \sqrt{6.25\exp{12}-\frac{1}{1.36\exp{-8}}} \\ \rho & = 2499985.2941\ldots \\ \al-\rho & \approx 14.7059 \\ \al+\rho & \approx 4'999'999.2941 \end{align} \end{gather*} On peut alors dériver l'\cref{eq:vl_straight_decharge} pour obtenir la deuxième équation nécessaire pour déterminer $A_1$ et $A_2$: \begin{align} \ddt{}\vlt & =\ddt{}\left( A_1e^{\al-\rho} + A_2e^{\al+\rho}\right) \\ \ddt{}\vlt & =\ddt{}\left( A_1e^{14.7059t} + A_2e^{4'999'999.2941t}\right) \\ \ddt{}\vlt & = 14.7059\cdot A_1e^{14.7059t} + 4'999'999.2941\cdot A_2e^{4'999'999.2941t} \label{eq:vlt-decharge-deriv} \\ \ddt{}\vlz & = 14.7059 A_1\cancelto{1}{e^{0}} + 4'999'999.2941 A_2\cancelto{1}{e^{0}} \label{eq:bertha_mommy_decharge} \end{align} Nous connaissons donc la forme de la dérivée de $\vlz$ mais pas sa valeur à $t=0^+$. Toutefois, il est possible d'avoir que des termes dont la condition initiale est connue en remaniant la mise en équation du circuit avec les équations de l'\cref{sec:bible}: \begin{gather*} \begin{align} 0 & = \ddt{}\vlt + \ddt{}V_C(t) + \ddt{}V_R(t)\quad \\ \ddt{}\vlt & = - \ddt{}V_C(t) - \ddt{}V_R(t) \\ \ddt{}\vlt & = \frac{-1}{C}I(t) - R\ddt{}I(t) \end{align} \end{gather*} En réarangeant les termes de l'\cref{eq:vlt}, nous pouvons substituer $\ddt{}I(t)$ pour obtenir: \begin{gather*} \begin{align} \ddt{}\vlt & = \frac{-1}{C}I(t) - \frac{R}{C}\vlt \end{align} \end{gather*} Nous pouvons enfin déterminer la dériver du système à $t=0^+$ puisque tout les termes de droite sont connus: \begin{gather*} \begin{align} I(0^+) & = 0 \\ \vlz & = -12 \\ \ddt{}\vlz & = 0 - 12\frac{1\exp{5}}{20\exp{-3}} = 6\exp{7} \end{align} \end{gather*} Il est maintenant possible d'isoler $A_1$ et $A_2$ en résolvant un système d'équations. \begin{gather*} \begin{align} -12 = A_1 + A_2 \Rightarrow -176.4708 = 14.7059A_1 + 14.7059A_2 \end{align} \end{gather*} Il est maintenant trivial d'isoler $A_2$: \begin{gather*} \begin{array}{l@{\quad}cr@{}ll} & & -176.4708 & {}= \cancel{14.7059A_1} & + 14.7059A_2 \\ \text{\bfseries--} & & 6\exp{7} & {}= \cancel{14.7059 A_1} & + 4'999'999.2941 A_2 \\ \cline{2-5} \approx & & 6\exp{7} & {}= 0 & -4'999'999.2941 A_2 \end{array} \end{gather*} \begin{gather*} \begin{align} A_2 & \approx -\frac{6\exp{7}}{5\exp{6}} = -12 \\ -12 & = A_1 + A_2 \\ A_1 & = 0 \end{align} \end{gather*} La solution de la décharge est donc: \begin{gather*} \begin{align} \vlt & = \cancelto{0}{0e^{(\al-\rootd)t}} -12 e^{-5\exp{6}t} \\ \vlt & = -12 e^{-5\exp{6}t} \end{align} \end{gather*} \section{Circuit RC (\texorpdfstring{$C_2$}{TEXT})} \subsection{Charge} Le circuit RC forme une équation différentielle du premier order forcé et à coefficient constant. Sont but est de réguler la longueur des pulsation envoyé envoyé à l'amplis U2. Ce dernier étant en configuration "Comparateur", on sait que la tension à laquelle le changement s'opère est celle dicté par le diviseur de tension $R_8 = \SI{2}{\kohm}$ et $R_9 = \SI{1}{\kohm}$. \begin{gather} V_x = V_S\frac{R_x}{R_t}\\ V_x = 12\frac{R_9}{R_8 = R_9}\\ V_x = \SI{4}{\V} \end{gather} Les conditions initiales en charge du circuit sont les suivantes: \begin{gather} \vst = \vct + V_D + \vrt \label{eq:rc-charge-base}\\ V_S(0) = 12\\ V_C(0) = -12\\ V_D(0) = 0.6\\ V_R(0) = 23.4 \label{eq:rc-charge-init}\\ \end{gather} En substituant l'\cref{eq:vct} dans l'\cref{eq:rc-charge-base} afin de tout avoir en fonction de $\vrt$: \begin{DispWithArrows}[rr,xoffset=0.4cm] \vst &= \frac{1}{C}\int I\dt + \vrt + V_D \Arrow{\footnotesize Utilisation de \\l'\cref{eq:rc-charge-base}} \\ \vst &= \frac{1}{RC}\int\vrt + \vrt + \cancelto{0}{V_D} \Arrow{On applique la dérivé}\\ \cancelto{0}{\ddt{}\vst} &= \frac{1}{RC}\vrt + \ddt{}\vrt \label{eq:rc-charge-deriv} \end{DispWithArrows} On pose ensuit la fomre standarde des équations différentielle homogène et on l'applique à l'\cref{eq:rc-charge-deriv}. \begin{DispWithArrows}[format=c] V_{R_h} = Ae^{\la t} \Arrow[jump=3,tikz=<-]{On reporte} \label{eq:rc-charge-homo}\\ 0 = \la Ae^{\la t} + \frac{1}{RC}Ae^{\la t}\\ \la\cancelto{1}{Ae^{\la t}} = -\frac{1}{RC}\cancelto{1}{Ae^{\la t}}\\ \la = -\frac{1}{RC} \end{DispWithArrows} On rapporte ensuite la valeur de $\la$ dans l'\cref{eq:rc-charge-homo} et on trouve la valeur de la constante $A$ à l'aide de la conditions initiale à l'\cref{eq:rc-charge-init}. \begin{gather} V_{R_h}(0) = 23.4 = A\cancelto{0}{e^{-\frac{t}{RC}}}\\ 23.4 = A\\ \nonumber\text{Forme finale de l'equation:}\\ \vrt = 23.4Ae^{-\frac{t}{RC}} \label{eq:rc-charge-final} \end{gather} Un des requis du problème est la longueure des impulsions. Sachant que celle-ci doivent durer \SI{150}{\us} et s'atténuent à une tension de \SI{4}{\V}, on peut les imposé à l'\cref{eq:rc-charge-final} afin de trouver la valeur de $R$ qui satisfera le circuit. \begin{DispWithArrows}[format=c] V_R(\SI{150}{\us})= 4 = 23.4e^{-\frac{\num{150e-6}}{RC}}\\ \frac{4}{23.4} = e^{-\frac{\num{150e-6}}{RC}}\\ \ln(\frac{4}{23.4}) = -\frac{\num{150e-6}}{RC}\\ R = -\frac{\num{150e-6}}{C\ln(\frac{4}{23.4})} \Arrow{Application \\numérique}\\ R_7 = \SI{8491}{\ohm} \xrightarrow{\text{Serie E24}} R_7 = \SI{8.2}{\kohm} \end{DispWithArrows} \subsection{Décharge} La décharge du condensateur est indentique à la charge en tout point sauf les conditions initiales et les requis pour l'application numérique servant à déduire $R_6$. Voici les conidions initiales pour la décharge: \begin{gather} \vst = \vct + V_D + \vrt \label{eq:rc-decharge-base}\\ V_S(0) = -12\\ V_C(0) = 12\\ V_D(0) = -0.6\\ V_R(0) = -23.4 \label{eq:rc-decharge-init}\\ \end{gather} Les étapes suivantes sont similaires aux \crefrange{eq:rc-charge-base}{eq:rc-charge-final} à quelques signes près. On obtient donc l'équation $V_R(t)$ suivante: \begin{gather} \vrt = -23.4Ae^{-\frac{t}{RC}} \label{eq:rc-decharge-final} \end{gather} Contrairement à la charge, il n'est pas immédiatement évident que la valeur de $R$ est fixée avec une coordonée concrète (comme \SI{4}{\V} après \SI{150}{\us} pour la charge). La coordonée fixant la résistance à la décharge est basée sur une proportion de la décharge. Il faut qu'après \SI{15}{\us}, la tension au bornes de la résistance valle $63.7\%$ de la tension qui était présente à $t=0^+$. Il est important de noter que puisque le condensateur a un charge initiale de \SI{12}{\V}, la tension au borne de la résistance doit chuter de $63.7\%$ de \SI{23.4}{\V}. \begin{gather} \SI{-23.4}{\V} \times (1-0.637) = \SI{-8.712}{\V} \end{gather} La valeur de la résistance $R_6$ est donc fixée afin de satisfaire une tension à ses bornes de \SI{8.712}{\V} à \SI{15}{\us} après le début de la décharge. \begin{DispWithArrows}[format=c] V_R(\SI{15}{\us})= -8.712 = -23.4e^{-\frac{\num{15e-6}}{RC}}\\ \frac{-8.712}{-23.4} = e^{-\frac{\num{15e-6}}{RC}}\\ \ln(\frac{-8.712}{-23.4}) = -\frac{\num{15e-6}}{RC}\\ R = -\frac{\num{15e-6}}{C\ln(\frac{-8.712}{-23.4})} \Arrow{Application \\numérique}\\ R_7 = \SI{1518.17}{\ohm} \xrightarrow{\text{Serie E24}} R_6 = \SI{1.5}{\kohm} \end{DispWithArrows} La valeur calculée est amplement dans la marge $\pm 5\%$ de la valeur nominale de $R_6$. \section{Circuit RC (\texorpdfstring{$C_3$}{TEXT})} \subsection{Charge} \subsection{Décharge} \end{appendix} \end{document}