\documentclass[a11paper, 11pt]{article}
% xelatex

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\usepackage[french]{cleveref}

\newcommand{\note}[1]{\begin{color}{Orange}\textbf{NOTE:} #1\end{color}}
\newcommand{\fixme}[1]{\begin{color}{Fuchsia}\textbf{FIXME:} #1\end{color}}
\newcommand{\question}[1]{\begin{color}{ForestGreen}\textbf{QUESTION:} #1\end{color}}

% \d{x} command for integral delimiters
\renewcommand{\d}[1]{\mathrm{d}#1}
\newcommand{\dt}{\mathrm{d}t}
\newcommand{\ddt}[1]{\frac{\text{d}^{#1}}{\text{d}t^{#1}}}
\newcommand{\vlt}{V_L(t)}
\newcommand{\vct}{V_C(t)}
\newcommand{\vrt}{V_R(t)}
\newcommand{\vst}{V_S(t)}
\newcommand{\vlz}{V_L(0)}

\newcommand{\ilt}{I_L(t)}
\newcommand{\ict}{I_C(t)}

\newcommand{\al}{\alpha}
\newcommand{\la}{\lambda}
\newcommand{\wz}{\omega_{0}}
\newcommand{\ws}{\omega_{0}^2}
\newcommand{\wn}{\omega_{\mathrm{n}}}

\newcommand{\rootd}{\sqrt{\al^2-\ws}}


\DeclareSIPrefix{\micro}{%
  \text{%
    \fontencoding{TS1}\fontfamily{kurier}\selectfont
    \symbol{"B5}%
  }%
}{-6}

% \addbibresource{bibliography.bib}
% \institution{Université de Sherbrooke}
% \faculty{Faculté de génie}
% \department{Département de génie électrique et de génie informatique}
\title{Annexe de résolution à la problématique}
\class{Circuits et systèmes du deuxième ordre}
\classnb{GEN111,GEN136,GEN122}
\author{
  \addtolength{\tabcolsep}{-0.4em}
  \begin{tabular}{rcl} % Ajouter des auteurs au besoin
      Benjamin Chausse & -- & CHAB1704 \\
      Sarah Gosselin   & -- & GOSS3005 \\
  \end{tabular}
}
\teacher{Jean-Philippe Gouin}
% \location{Sherbrooke}
% \date{\today}

\begin{document}
\maketitle
\newpage

\begin{appendix}
	\section{Outils mathématiques (Bible)}
	Les fonction suivantes seront utilisées et référencé tout au long de l'annexe.

	\begin{gather}
		\vct = \frac{1}{C}\int\ict \dt \label{eq:vct}\\
		\ict = C\frac{\text{d}}{\dt}\vct \label{eq:ict}\\
		\nonumber\\
		\vlt = L\frac{\text{d}}{\dt}\ilt \label{eq:vlt}\\
		\ilt = \frac{1}{L}\int \vlt\dt \label{eq:ilt}\\
		\nonumber\\
		V(t) = RI(t) \label{eq:vri}\\
		\nonumber\\
		\al = \frac{R}{2L} \label{eq:alpha}\\
		\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}} \label{eq:omega_0}\\
		\omega_n = \sqrt{\omega_0^2 - \al^2 \label{eq:omega_n}}
	\end{gather}

	\newpage
	\section{Circuit RLC}
	\subsection{Charge}
	On pose l'équation de l'état du circuit au temp $t(0)$ et on substitue pour
	avoir en fonction de $\vlt$.
	Puisque que circuit simplifié est constituer d'une seule boucle, le courant
	se simplifie comme suit: $I_C = I_R = I_V = I$.


	\begin{gather}
		\vst = \vct + \vrt + \vlt \\
		\vst = \frac{1}{C}\int I(t) \dt + RI(t) + \vlt \\
		\vst = \frac{1}{CL} \iint \vlt \dt\ \dt + \frac{R}{L}\int\vlt\dt + \vlt\\
		\nonumber \text{On substitue les termes $R, L, C$ par les \cref{eq:alpha,eq:omega_0}}\\
		\ddt{2}V_S = \ddt{2}\vlt + 2\al\ddt{}\vlt + \omega^2\vlt\\
		\nonumber \text{On pose la forme de la solution homogène: } V_{L_h} = Ae^{\la t} = 0\\
		0 = \la^2Ae^{\la t} + 2\al\la Ae^{\la t} + \omega_0^2Ae^{\la t}\\
		0 = \cancelto{0}{Ae^{\la t}}\left(\la^2 + 2\al\la + \omega_0\right)\\
		\la_{1,2} = \frac{-2\al \pm \sqrt{(2\al)^2 - 4\omega_0^2}}{2}\\
		\la_{1,2} = -\al\pm\sqrt{\al^2 - \omega_0^2}\\
		\nonumber\text{Puisque le discriminant est négatif, on le multiplie par $-1$ et on sort $j$.}\\
		% \la_{1,2} = -\al\pm j\sqrt{\}
	\end{gather}

	\subsection{Décharge}
	\begin{gather*}
		\begin{align}
			0         & = \vlt + V_C(t) + V_R(t)                                                           \\
			0         & = \vlt+\frac{1}{C}\int I_(t)\dt + R_I(t)                                           \\
			0         & = \ddt{2}\left[ \vlt + \frac{1}{LC}\iint\vlt\dt^2 + \frac{R}{L}\ddt{} \vlt \right] \\
			0         & = \ddt{2}\vlt+ \frac{R}{L}\ddt{}\vlt +\frac{1}{LC}\vlt                             \\
			0         & = \ddt{2}+\vlt+2\al\ddt{}\vlt+\ws                                                  \\
			\nonumber\text{Posons que: }
			          &
			\vlt=Ae^{\la t} \Rightarrow
			\ddt{}\vlt=\la Ae^{\la t} \Rightarrow
			\ddt{2}\vlt=\la^{2}Ae^{\la t}                                                                  \\
			0         & = \la^2Ae^{\la t} +2\al Ae^{\la t} + \ws Ae^{\la t}                                \\
			0         & = Ae^{\la t} \left(\la^2 +2\al\la+\ws \right)                                      \\
			0         & = \la^2 +2\al\la+\ws                                                               \\
			\la_{1,2} & = \frac{-2\al\pm\sqrt{(-2\al)^2-4\ws}}{2(-2\al)}                                   \\
			\la{1,2}  & = -\al\pm\sqrt{\al^2-\ws}
		\end{align}
	\end{gather*}
	Puisque $R$ est de l'ordre des \si{\kohm} et $L$ de l'ordre des \SI{}{\mH}, on peut déterminer
	sans faire de calculs que l'intérieur de la racine carrée $\wn$ est posifive. Donc nul besoin de
	passer par notre ami Euler pour déterminer les valeurs de $\la$. Nous pouvons maintenant réintégrer
	ce coefficient dans notre supposition initiale que $\vlt=Ae^{\la t}$.

	\begin{equation}
		\vlt = A_1e^{\al-\rootd} + A_2e^{\al+\rootd} \\
	\end{equation}

	Pour déterminer les constantes $A_1$ et $A_2$, il faut une deuxième équation dont on connait les
	charactéristiques à un temps donné. On peut obtenir en dérivant l'équation de $\vlt$ dont
	il est possible de déterminer les propriétés à $t=0$.

	Lors de la simulation \textit{LTspice}, les spécifications de décharge du circuit généraient déjà une
	régression exponentielle suffisament rapides pour les besoins du circuit. La valeur de $R_1$ (\SI{100}{\kohm})
	est donc gardée idem utilisée dans le calcul de la dérivée pour en simplifier la résolution.


\end{appendix}

\end{document}