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diff --git a/annexe/main.tex b/annexe/main.tex index 630615f..c1c2b93 100644 --- a/annexe/main.tex +++ b/annexe/main.tex @@ -22,6 +22,7 @@ \usepackage[french]{cleveref} \newcommand{\note}[1]{\begin{color}{Orange}\textbf{NOTE:} #1\end{color}} +\newcommand{\todo}[1]{\begin{color}{Red}\textbf{TODO:} #1\end{color}} \newcommand{\fixme}[1]{\begin{color}{Fuchsia}\textbf{FIXME:} #1\end{color}} \newcommand{\question}[1]{\begin{color}{ForestGreen}\textbf{QUESTION:} #1\end{color}} @@ -33,7 +34,7 @@ \newcommand{\vct}{V_C(t)} \newcommand{\vrt}{V_R(t)} \newcommand{\vst}{V_S(t)} -\newcommand{\vlz}{V_L(0)} +\newcommand{\vlz}{V_L(0^+)} \newcommand{\ilt}{I_L(t)} \newcommand{\ict}{I_C(t)} @@ -44,6 +45,8 @@ \newcommand{\ws}{\omega_{0}^2} \newcommand{\wn}{\omega_{\mathrm{n}}} +\renewcommand{\exp}[1]{\times10^{#1}} + \newcommand{\rootd}{\sqrt{\al^2-\ws}} @@ -134,6 +137,7 @@ \begin{gather*} \begin{align} 0 & = \vlt + V_C(t) + V_R(t) \\ + \label{eq:rlc_decharge_initial} 0 & = \vlt+\frac{1}{C}\int I_(t)\dt + R_I(t) \\ 0 & = \ddt{2}\left[ \vlt + \frac{1}{LC}\iint\vlt\dt^2 + \frac{R}{L}\ddt{} \vlt \right] \\ 0 & = \ddt{2}\vlt+ \frac{R}{L}\ddt{}\vlt +\frac{1}{LC}\vlt \\ @@ -157,6 +161,7 @@ \begin{equation} \vlt = A_1e^{\al-\rootd} + A_2e^{\al+\rootd} \\ + \label{eq:vl_straight_decharge} \end{equation} Pour déterminer les constantes $A_1$ et $A_2$, il faut une deuxième équation dont on connait les @@ -164,8 +169,58 @@ il est possible de déterminer les propriétés à $t=0$. Lors de la simulation \textit{LTspice}, les spécifications de décharge du circuit généraient déjà une - régression exponentielle suffisament rapides pour les besoins du circuit. La valeur de $R_1$ (\SI{100}{\kohm}) - est donc gardée idem utilisée dans le calcul de la dérivée pour en simplifier la résolution. + régression exponentielle suffisament rapides pour les besoins du circuit. La valeur de $R_2$ (\SI{100}{\kohm}) + est donc gardée idem puis utilisée dans le calcul de la dérivée pour en simplifier la résolution. La résistance $R_1$ + est négligée puisque sa valeur est moindre face à la tolérance $\pm 5\%$ de $R_2$. + + \begin{gather*} + \begin{align} + R = \SI{100}{\kohm} + & ; + L = \SI{20}{\mH}; C = \SI{680}{\nF} \\ + \al & = \frac{1\exp{5}}{2\cdot20\exp{-3}} = 2.5\exp{6} \\ + \al^2 & = 6.25\exp{12} \\ + \wz & =\frac{1}{\sqrt{20\exp{-3}\cdot680\exp{-9}}} = \frac{1}{\sqrt{1.36\exp{-8}}} \\ + \ws & =\frac{1}{1.36\exp{-8}} \\ + \rho & = \sqrt{\al^2-\ws} \quad\text{\footnotesize(variable pour alléger la lecture)} \\ + \rho & = \sqrt{6.25\exp{12}-\frac{1}{1.36\exp{-8}}} \\ + \rho & = 2499985.2941\ldots \\ + \al-\rho & \approx 14.7059 \\ + \al+\rho & \approx 4'999'999.2941 + \end{align} + \end{gather*} + On peut alors dériver de l'\cref{eq:vl_straight_decharge}: + \begin{gather*} + \begin{align} + \ddt{}\vlt & =\ddt{}\left( A_1e^{\al-\rho} + A_2e^{\al+\rho}\right) \\ + \ddt{}\vlt & =\ddt{}\left( A_1e^{14.7059t} + A_2e^{4'999'999.2941t}\right) \\ + \ddt{}\vlt & = 14.7059\cdot A_1e^{14.7059t} + 4'999'999.2941\cdot A_2e^{4'999'999.2941t} + \label{eq:bertha_mommy_decharge} + \end{align} + \end{gather*} + \todo{Expliquer pourquoi on passe par ici dans ce qui suit}\\ + \begin{gather*} + \begin{align} + 0 & = \ddt{}\vlt + \ddt{}V_C(t) + \ddt{}V_R(t)\quad \\ + \ddt{}\vlt & = - \ddt{}V_C(t) - \ddt{}V_R(t) \\ + \ddt{}\vlt & = \frac{-1}{C}I(t) - R\ddt{}I(t) + \end{align} + \end{gather*} + En réarangeant les termes de l'\cref{eq:vlt}, nous pouvons substituer $\ddt{}I(t)$ pour obtenir: + \begin{gather*} + \begin{align} + \ddt{}\vlt & = \frac{-1}{C}I(t) - \frac{R}{C}\vlt + \end{align} + \end{gather*} + Nous pouvons enfin déterminer la dériver du système au temps $0^+$ puisque tout les termes de droite sont connus: + \begin{gather*} + \begin{align} + I(0^+) & = 0 \\ + \vlz & = -12 \\ + \ddt{}\vlz & = 0 - 12\frac{1\exp{5}}{20\exp{-3}} = 60\exp{6} + \end{align} + \end{gather*} + \end{appendix} |