diff options
Diffstat (limited to 'annexe/main.tex')
| -rw-r--r-- | annexe/main.tex | 51 |
1 files changed, 41 insertions, 10 deletions
diff --git a/annexe/main.tex b/annexe/main.tex index c1c2b93..179ca97 100644 --- a/annexe/main.tex +++ b/annexe/main.tex @@ -81,6 +81,7 @@ \begin{appendix} \section{Outils mathématiques (Bible)} + \label{sec:bible} Les fonction suivantes seront utilisées et référencé tout au long de l'annexe. \begin{gather} @@ -151,20 +152,31 @@ 0 & = Ae^{\la t} \left(\la^2 +2\al\la+\ws \right) \\ 0 & = \la^2 +2\al\la+\ws \\ \la_{1,2} & = \frac{-2\al\pm\sqrt{(-2\al)^2-4\ws}}{2(-2\al)} \\ - \la{1,2} & = -\al\pm\sqrt{\al^2-\ws} + \la_{1,2} & = -\al\pm\sqrt{\al^2-\ws} \end{align} \end{gather*} Puisque $R$ est de l'ordre des \si{\kohm} et $L$ de l'ordre des \SI{}{\mH}, on peut déterminer sans faire de calculs que l'intérieur de la racine carrée $\wn$ est posifive. Donc nul besoin de - passer par notre ami Euler pour déterminer les valeurs de $\la$. Nous pouvons maintenant réintégrer + passer par notre ami Euler pour déterminer les valeurs de $\la$. + + Nous pouvons maintenant réintégrer ce coefficient dans notre supposition initiale que $\vlt=Ae^{\la t}$. \begin{equation} - \vlt = A_1e^{\al-\rootd} + A_2e^{\al+\rootd} \\ + \vlt = A_1e^{(\al-\rootd)t} + A_2e^{(\al+\rootd)t} \\ \label{eq:vl_straight_decharge} \end{equation} - Pour déterminer les constantes $A_1$ et $A_2$, il faut une deuxième équation dont on connait les + Du même coup, le résultat de cette expression évaluée à $t=0^+$ sera utille pour isoler $A_1$ et $A_2$ + plus tard. La voici donc: + + \begin{gather*} + \begin{align} + \vlz & = A_1\cancel{e^0} + A_2\cancel{e^0} = A_1 + A_2 = -12 + \end{align} + \end{gather*} + + Pour déterminer les constantes $A_1$ et $A_2$, il faudra une deuxième équation dont on connait les charactéristiques à un temps donné. On peut obtenir en dérivant l'équation de $\vlt$ dont il est possible de déterminer les propriétés à $t=0$. @@ -189,16 +201,21 @@ \al+\rho & \approx 4'999'999.2941 \end{align} \end{gather*} - On peut alors dériver de l'\cref{eq:vl_straight_decharge}: + On peut alors dériver l'\cref{eq:vl_straight_decharge} pour obtenir la deuxième équation + nécessaire pour déterminer $A_1$ et $A_2$: \begin{gather*} \begin{align} \ddt{}\vlt & =\ddt{}\left( A_1e^{\al-\rho} + A_2e^{\al+\rho}\right) \\ \ddt{}\vlt & =\ddt{}\left( A_1e^{14.7059t} + A_2e^{4'999'999.2941t}\right) \\ - \ddt{}\vlt & = 14.7059\cdot A_1e^{14.7059t} + 4'999'999.2941\cdot A_2e^{4'999'999.2941t} + \ddt{}\vlt & = 14.7059\cdot A_1e^{14.7059t} + 4'999'999.2941\cdot A_2e^{4'999'999.2941t} \\ + \ddt{}\vlz & = 14.7059 A_1\cancel{e^{0}} + 4'999'999.2941 A_2\cancel{e^{0}} \label{eq:bertha_mommy_decharge} \end{align} \end{gather*} - \todo{Expliquer pourquoi on passe par ici dans ce qui suit}\\ + Nous connaissons donc la forme de la dérivée de $\vlz$ mais pas sa valeur à + $t=0^+$. Toutefois, il est possible d'avoir que des termes dont la condition + initiale est connue en remaniant la mise en équation du circuit avec les + équations de l'\cref{sec:bible}: \begin{gather*} \begin{align} 0 & = \ddt{}\vlt + \ddt{}V_C(t) + \ddt{}V_R(t)\quad \\ @@ -215,11 +232,25 @@ Nous pouvons enfin déterminer la dériver du système au temps $0^+$ puisque tout les termes de droite sont connus: \begin{gather*} \begin{align} - I(0^+) & = 0 \\ - \vlz & = -12 \\ - \ddt{}\vlz & = 0 - 12\frac{1\exp{5}}{20\exp{-3}} = 60\exp{6} + I(0^+) & = 0 \\ + \vlz & = -12 \\ + \ddt{}\vlz & = 0 - 12\frac{1\exp{5}}{20\exp{-3}} = 6\exp{7} \end{align} \end{gather*} + Il est maintenant possible d'isoler $A_1$ et $A_2$ en résolvant un système d'équations. + \begin{gather*} + \begin{align} + -12 = A_1 + A_2 \Rightarrow -176.4708 = 14.7059A_1 + 14.7059A_2 + \end{align} + \end{gather*} + Il est maintenant trivial d'isoler $A_2$: + \begin{gather*} + \begin{array}{l@{\quad}cr@{}l} + & & -176.4708 & {}= \cancel{14.7059A_1} + 14.7059A_2 \\ + \text{\bfseries--} & & 6\exp{7} & {}= \cancel{14.7059 A_1} + 4'999'999.2941 A_2 \\ \cline{2-4} + & & 0 & {}= -x-5 + \end{array} + \end{gather*} |