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diff --git a/annexe/main.tex b/annexe/main.tex index 236d3c8..630615f 100644 --- a/annexe/main.tex +++ b/annexe/main.tex @@ -13,6 +13,7 @@ \usepackage{amsmath} \usepackage{mathtools} \usepackage{cancel} +\usepackage{witharrows} \usepackage[dvipsnames]{xcolor} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage{csquotes} @@ -108,14 +109,26 @@ \vst = \frac{1}{CL} \iint \vlt \dt\ \dt + \frac{R}{L}\int\vlt\dt + \vlt\\ \nonumber \text{On substitue les termes $R, L, C$ par les \cref{eq:alpha,eq:omega_0}}\\ \ddt{2}V_S = \ddt{2}\vlt + 2\al\ddt{}\vlt + \omega^2\vlt\\ + \end{gather} + On entame la résolution de l'equation différetielle d'ordre 2 à coéfficient + constant et forcé par la solution homogène. + Tel que présenté par l'\cref{eq:vlt-charge-generale}. + \begin{gather} + \vlt = V_{L_h} + V_{L_p} \label{eq:vlt-charge-generale}\\ \nonumber \text{On pose la forme de la solution homogène: } V_{L_h} = Ae^{\la t} = 0\\ 0 = \la^2Ae^{\la t} + 2\al\la Ae^{\la t} + \omega_0^2Ae^{\la t}\\ 0 = \cancelto{0}{Ae^{\la t}}\left(\la^2 + 2\al\la + \omega_0\right)\\ \la_{1,2} = \frac{-2\al \pm \sqrt{(2\al)^2 - 4\omega_0^2}}{2}\\ \la_{1,2} = -\al\pm\sqrt{\al^2 - \omega_0^2}\\ - \nonumber\text{Puisque le discriminant est négatif, on le multiplie par $-1$ et on sort $j$.}\\ - % \la_{1,2} = -\al\pm j\sqrt{\} + \nonumber\text{Puisque le discriminant est négatif, on le multiplie par $-1$,}\\ + \nonumber\text{on sort $j$ et on simplifie avec l'\cref{eq:omega_n}.}\\ + \la_{1,2} = -\al\pm j\omega_n\\ + \begin{WithArrows} + V_{L_h} &= A_1e^{(-\al+j\wn)t} + A_2e^{(-\al+j\wn)t} \Arrow{Se simplifie} \\ + V_{L_h} &= e^{-\al t}\left(A_1e^{j\wn t} + A_2e^{-j\wn t}\right) + \end{WithArrows} \end{gather} + On prend utilise ensuite la formule d'Euler afin de résoudre l'équation. \subsection{Décharge} \begin{gather*} |