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diff --git a/annexe/main.tex b/annexe/main.tex index c1c2b93..78acfdc 100644 --- a/annexe/main.tex +++ b/annexe/main.tex @@ -107,12 +107,13 @@ \begin{gather} - \vst = \vct + \vrt + \vlt \\ + \vst = \vct + \vrt + \vlt \label{eq:vst-initiale-charge}\\ \vst = \frac{1}{C}\int I(t) \dt + RI(t) + \vlt \\ \vst = \frac{1}{CL} \iint \vlt \dt\ \dt + \frac{R}{L}\int\vlt\dt + \vlt\\ \nonumber \text{On substitue les termes $R, L, C$ par les \cref{eq:alpha,eq:omega_0}}\\ \ddt{2}V_S = \ddt{2}\vlt + 2\al\ddt{}\vlt + \omega^2\vlt\\ \end{gather} + On entame la résolution de l'equation différetielle d'ordre 2 à coéfficient constant et forcé par la solution homogène. Tel que présenté par l'\cref{eq:vlt-charge-generale}. @@ -131,7 +132,32 @@ V_{L_h} &= e^{-\al t}\left(A_1e^{j\wn t} + A_2e^{-j\wn t}\right) \end{WithArrows} \end{gather} - On prend utilise ensuite la formule d'Euler afin de résoudre l'équation. + + On utilise ensuite la formule d'Euler afin de résoudre l'équation. + \begin{gather} + V_{L_h} = e^{-\al t}\left[A_1\cos(\wn t) + A_1j\sin(\wn t) + A_2\cos(\wn t) - A_2j\sin(\wn t)\right]\\ + V_{L_h} = e^{-\al t}\left[\underbrace{(A_1+A_2)}_{C_1}\cos(\wn t) + + \underbrace{(A_1-A_2)j}_{C_2}\sin(\wn t)\right]\\ + V_{L_h} = e^{-\al t}\left[C_1\cos(\wn t) + C_2\sin(\wn t)\right] + \end{gather} + + Ayant maintenant la solution homogène, il faudrait trouvé la solution particulière + afin d'arriver à l'\cref{eq:vlt-charge-generale} + Les conditions initiales sont trouvé en se basant sur l'\cref{eq:vst-initiale-charge}: + \begin{DispWithArrows} + \ddt{}\vst &= \ddt{}\vct + \ddt{}\vrt + \ddt{}\vlt \Arrow{\footnotesize Isoler $\vlt$}\\ + \ddt{}\vlt &= + \cancelto{0}{\ddt{}\vst} - \underbrace{\ddt{}\vct}_{\text{\cref{eq:vct}}} - + \underbrace{\ddt{}\vrt}_{\text{\cref{eq:vri}}} \Arrow{\footnotesize Se simplifie} \\ + \vlt &= \cancelto{0}{\frac{I_C(0)}{C}} - \frac{R}{L}\vlz \label{eq:cond-init-deriv-charge} + \end{DispWithArrows} + + Les conditions initiales sont donc: + \begin{gather} + \vlz = 12 \ \text{\footnotesize(Provenant de l'\cref{eq:vst-initiale-charge})} \\ + \ddt{}\vlz = -24000 \ \text{\footnotesize(Provenant de l'\cref{eq:cond-init-deriv-charge})} + \end{gather} + \subsection{Décharge} \begin{gather*} @@ -143,7 +169,6 @@ 0 & = \ddt{2}\vlt+ \frac{R}{L}\ddt{}\vlt +\frac{1}{LC}\vlt \\ 0 & = \ddt{2}+\vlt+2\al\ddt{}\vlt+\ws \\ \nonumber\text{Posons que: } - & \vlt=Ae^{\la t} \Rightarrow \ddt{}\vlt=\la Ae^{\la t} \Rightarrow \ddt{2}\vlt=\la^{2}Ae^{\la t} \\ |