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diff --git a/annexe/main.tex b/annexe/main.tex index b532a34..1b3a52b 100644 --- a/annexe/main.tex +++ b/annexe/main.tex @@ -120,7 +120,7 @@ constant et forcé par la solution homogène. Tel que présenté par l'\cref{eq:vlt-charge-generale}. \begin{gather} - \vlt = V_{L_h} + V_{L_p} \label{eq:vlt-charge-generale}\\ + V_{L_g} = V_{L_h} + V_{L_p} \label{eq:vlt-charge-generale}\\ \nonumber \text{On pose la forme de la solution homogène: } V_{L_h} = Ae^{\la t} = 0\\ 0 = \la^2Ae^{\la t} + 2\al\la Ae^{\la t} + \omega_0^2Ae^{\la t}\\ 0 = \cancelto{0}{Ae^{\la t}}\left(\la^2 + 2\al\la + \omega_0\right)\\ @@ -140,11 +140,18 @@ V_{L_h} = e^{-\al t}\left[A_1\cos(\wn t) + A_1j\sin(\wn t) + A_2\cos(\wn t) - A_2j\sin(\wn t)\right]\\ V_{L_h} = e^{-\al t}\left[\underbrace{(A_1+A_2)}_{C_1}\cos(\wn t) + \underbrace{(A_1-A_2)j}_{C_2}\sin(\wn t)\right]\\ - V_{L_h} = e^{-\al t}\left[C_1\cos(\wn t) + C_2\sin(\wn t)\right] + V_{L_h} = e^{-\al t}\left[C_1\cos(\wn t) + C_2\sin(\wn t)\right]\label{eq:vlh-sol-homo} \end{gather} Ayant maintenant la solution homogène, il faudrait trouvé la solution particulière afin d'arriver à l'\cref{eq:vlt-charge-generale} + Cependant, puisque le terme forcé est une constante, la solution particulière $V_{L_p}$ + basé sur sa dérivée est donc null. + \begin{gather} + V_{L_g} = V_{L_h} + \cancelto{0}{V_{L_p}}\label{eq:vlt-sol-generale} + \end{gather} + + Les conditions initiales sont trouvé en se basant sur l'\cref{eq:vst-initiale-charge}: \begin{DispWithArrows} \ddt{}\vst &= \ddt{}\vct + \ddt{}\vrt + \ddt{}\vlt \Arrow{\footnotesize Isoler $\vlt$}\\ @@ -160,6 +167,34 @@ \ddt{}\vlz = -24000 \ \text{\footnotesize(Provenant de l'\cref{eq:cond-init-deriv-charge})} \end{gather} + Puisque la condition initiale de l'\cref{eq:cond-init-deriv-charge} requiert la dérivé + de $V_{L_g}$ (\cref{eq:vst-initiale-charge}): + \begin{gather} + \ddt{}V_{L_g} = -\al e^{-\al t}\left[C_1\cos(\wn t) + C_2\sin(\wn t)\right] + + e^{-\al t}\left[-C_1\wn\sin(\wn t) - C_2\wn\cos(\wn t)\right] \\ + \ddt{}V_{L_g} = -e^{-\al t}\left[C_1\al\cos(\wn t) + C_2\al\sin(\wn t) + + C_1\wn\sin(\wn t) - C_2\wn\cos(\wn t)\right] \label{eq:grosse-criss-de-derivee} + \end{gather} + + Il est maintenant possible de trouver $C_1$ et $C_2$ en se servant de l'\cref{eq:vlh-sol-homo} + et de l'\cref{eq:grosse-criss-de-derivee} + \begin{gather} + V_{L_h}(0) = 12 = \cancelto{1}{e^{-\al t}}\left[C_1\cancelto{1}{\cos(\wn t)} + + \cancelto{0}{C_2\sin(\wn t)}\right]\\ + 12 = C_1\\ + \ddt{}V_{L_g}(0) = -24000 = \cancelto{1}{-e^{-\al t}} + \left[12\al\cancelto{1}{\cos(\wn t)} + \cancelto{0}{C_2\al\sin(\wn t)} + + \cancelto{0}{12\wn\sin(\wn t)} - C_2\wn\cancelto{1}{\cos(\wn t)}\right]\\ + -24000 = -12\al + C_2\wn\\ + C_2 = \frac{-24000 + 12\al}{\wn} = -1.654 + \end{gather} + + Avec les valeurs de $C_1$ et $C_2$ il est maintenant possible d'ecrire la fonction $\vlt$ complète. + \begin{gather} + \vlt = e^{-\al t}\left[12\cos(\wn t) - 1.654\sin(\wn t)\right] + \end{gather} + + \subsection{Décharge} \begin{gather*} |