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diff --git a/annexe/main.tex b/annexe/main.tex index 1b3a52b..386a145 100644 --- a/annexe/main.tex +++ b/annexe/main.tex @@ -94,8 +94,8 @@ V(t) = RI(t) \label{eq:vri}\\ \nonumber\\ \al = \frac{R}{2L} \label{eq:alpha}\\ - \omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}} \label{eq:omega_0}\\ - \omega_n = \sqrt{\omega_0^2 - \al^2 \label{eq:omega_n}} \\ + \wz = \frac{1}{\sqrt{LC}} \label{eq:omega_0}\\ + \omega_n = \sqrt{\ws - \al^2 \label{eq:omega_n}} \\ e^{j\theta} = \cos(\theta) + j\sin(\theta) \label{eq:euler} \end{gather} @@ -104,7 +104,7 @@ \subsection{Charge} On pose l'équation de l'état du circuit au temp $t(0)$ et on substitue pour avoir en fonction de $\vlt$. - Puisque que circuit simplifié est constituer d'une seule boucle, le courant + Puisque que circuit simplifié est constitué d'une seule boucle, le courant se simplifie comme suit: $I_C = I_R = I_V = I$. @@ -113,7 +113,7 @@ \vst = \frac{1}{C}\int I(t) \dt + RI(t) + \vlt \\ \vst = \frac{1}{CL} \iint \vlt \dt\ \dt + \frac{R}{L}\int\vlt\dt + \vlt\\ \nonumber \text{On substitue les termes $R, L, C$ par les \cref{eq:alpha,eq:omega_0}}\\ - \ddt{2}V_S = \ddt{2}\vlt + 2\al\ddt{}\vlt + \omega^2\vlt\\ + \ddt{2}V_S = \ddt{2}\vlt + 2\al\ddt{}\vlt + \ws\vlt \end{gather} On entame la résolution de l'equation différetielle d'ordre 2 à coéfficient @@ -122,10 +122,10 @@ \begin{gather} V_{L_g} = V_{L_h} + V_{L_p} \label{eq:vlt-charge-generale}\\ \nonumber \text{On pose la forme de la solution homogène: } V_{L_h} = Ae^{\la t} = 0\\ - 0 = \la^2Ae^{\la t} + 2\al\la Ae^{\la t} + \omega_0^2Ae^{\la t}\\ - 0 = \cancelto{0}{Ae^{\la t}}\left(\la^2 + 2\al\la + \omega_0\right)\\ - \la_{1,2} = \frac{-2\al \pm \sqrt{(2\al)^2 - 4\omega_0^2}}{2}\\ - \la_{1,2} = -\al\pm\sqrt{\al^2 - \omega_0^2}\\ + 0 = \la^2Ae^{\la t} + 2\al\la Ae^{\la t} + \ws Ae^{\la t}\\ + 0 = \cancelto{0}{Ae^{\la t}}\left(\la^2 + 2\al\la + \wz\right)\\ + \la_{1,2} = \frac{-2\al \pm \sqrt{(2\al)^2 - 4\ws }}{2}\\ + \la_{1,2} = -\al\pm\sqrt{\al^2 - \ws }\\ \nonumber\text{Puisque le discriminant est négatif, on le multiplie par $-1$,}\\ \nonumber\text{on sort $j$ et on simplifie avec l'\cref{eq:omega_n}.}\\ \la_{1,2} = -\al\pm j\omega_n\\ @@ -143,16 +143,16 @@ V_{L_h} = e^{-\al t}\left[C_1\cos(\wn t) + C_2\sin(\wn t)\right]\label{eq:vlh-sol-homo} \end{gather} - Ayant maintenant la solution homogène, il faudrait trouvé la solution particulière + Ayant maintenant la solution homogène, il faudrait trouver la solution particulière afin d'arriver à l'\cref{eq:vlt-charge-generale} Cependant, puisque le terme forcé est une constante, la solution particulière $V_{L_p}$ - basé sur sa dérivée est donc null. + basé sur sa dérivée est donc nulle. \begin{gather} V_{L_g} = V_{L_h} + \cancelto{0}{V_{L_p}}\label{eq:vlt-sol-generale} \end{gather} - Les conditions initiales sont trouvé en se basant sur l'\cref{eq:vst-initiale-charge}: + Les conditions initiales sont trouvées en se basant sur l'\cref{eq:vst-initiale-charge}: \begin{DispWithArrows} \ddt{}\vst &= \ddt{}\vct + \ddt{}\vrt + \ddt{}\vlt \Arrow{\footnotesize Isoler $\vlt$}\\ \ddt{}\vlt &= @@ -186,12 +186,14 @@ \left[12\al\cancelto{1}{\cos(\wn t)} + \cancelto{0}{C_2\al\sin(\wn t)} + \cancelto{0}{12\wn\sin(\wn t)} - C_2\wn\cancelto{1}{\cos(\wn t)}\right]\\ -24000 = -12\al + C_2\wn\\ - C_2 = \frac{-24000 + 12\al}{\wn} = -1.654 + C_2 = \frac{-24000 + 12\al}{\wn} = -1.41 \\ + \vlt = e^{-\al t}\left[12\cos(\wn t) - 1.41\sin(\wn t)\right] \end{gather} - Avec les valeurs de $C_1$ et $C_2$ il est maintenant possible d'ecrire la fonction $\vlt$ complète. + Avec les valeurs de $C_1$ et $C_2$ il est maintenant possible d'écrire la fonction $\vlt$ complète. \begin{gather} - \vlt = e^{-\al t}\left[12\cos(\wn t) - 1.654\sin(\wn t)\right] + \al = 1000;\quad \wn = 8516.42; \\ + \vlt = e^{-1000t}\left[12\cos(8516.42 t) - 1.41\sin(8516.42 t)\right] \end{gather} |