diff options
Diffstat (limited to 'annexe')
| -rw-r--r-- | annexe/document.sty | 2 | ||||
| -rw-r--r-- | annexe/main.tex | 81 |
2 files changed, 45 insertions, 38 deletions
diff --git a/annexe/document.sty b/annexe/document.sty index cc7e06b..d91ab7e 100644 --- a/annexe/document.sty +++ b/annexe/document.sty @@ -6,7 +6,7 @@ %~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~% % Margin Setup according to University methodology: -\RequirePackage[top=2.5cm,bottom=2.5cm,inner=3cm,outer=2.5cm]{geometry} +\RequirePackage[top=2.5cm,bottom=2.5cm,inner=2.5cm,outer=2.5cm]{geometry} % IEEE references & bibliography \RequirePackage[style=ieee]{biblatex} \RequirePackage[T1]{fontenc} % French compatibility diff --git a/annexe/main.tex b/annexe/main.tex index 7f177ab..2f45a65 100644 --- a/annexe/main.tex +++ b/annexe/main.tex @@ -198,32 +198,32 @@ \subsection{Décharge} \begin{gather*} \begin{align} - 0 & = \vlt + V_C(t) + V_R(t) \\ + 0 & = \vlt + V_C(t) + V_R(t) \\ \label{eq:rlc_decharge_initial} - 0 & = \vlt+\frac{1}{C}\int I_(t)\dt + R_I(t) \\ - 0 & = \ddt{2}\left[ \vlt + \frac{1}{LC}\iint\vlt\dt^2 + \frac{R}{L}\ddt{} \vlt \right] \\ - 0 & = \ddt{2}\vlt+ \frac{R}{L}\ddt{}\vlt +\frac{1}{LC}\vlt \\ - 0 & = \ddt{2}+\vlt+2\al\ddt{}\vlt+\ws \\ + 0 & = \vlt+\frac{1}{C}\int \ilt\dt + R_I(t) \\ + 0 & = \ddt{2}\left[ \vlt + \frac{1}{LC}\iint\vlt\dt\ \dt + \frac{R}{L}\ddt{} \vlt \right] \\ + 0 & = \ddt{2}\vlt+ \frac{R}{L}\ddt{}\vlt +\frac{1}{LC}\vlt \\ + 0 & = \ddt{2}\vlt+2\al\ddt{}\vlt+\ws \\ \nonumber \text{Posons que: } & \vlt=Ae^{\la t} \Rightarrow \ddt{}\vlt=\la Ae^{\la t} \Rightarrow - \ddt{2}\vlt=\la^{2}Ae^{\la t} \\ - 0 & = \la^2Ae^{\la t} +2\al Ae^{\la t} + \ws Ae^{\la t} \\ - 0 & = Ae^{\la t} \left(\la^2 +2\al\la+\ws \right) \\ - 0 & = \la^2 +2\al\la+\ws \\ - \la_{1,2} & = \frac{-2\al\pm\sqrt{(-2\al)^2-4\ws}}{2(-2\al)} \\ + \ddt{2}\vlt=\la^{2}Ae^{\la t} \\ + 0 & = \la^2Ae^{\la t} +2\al Ae^{\la t} + \ws Ae^{\la t} \\ + 0 & = \cancel{Ae^{\la t}} \left(\la^2 +2\al\la+\ws \right) \\ + 0 & = \la^2 +2\al\la+\ws \\ + \la_{1,2} & = \frac{-2\al\pm\sqrt{(-2\al)^2-4\ws}}{2} \\ \la_{1,2} & = -\al\pm\sqrt{\al^2-\ws} \end{align} \end{gather*} Puisque $R$ est de l'ordre des \si{\kohm} et $L$ de l'ordre des \SI{}{\mH}, on peut déterminer - sans faire de calculs que l'intérieur de la racine carrée $\wn$ est posifive. Donc nul besoin de + sans faire de calculs que l'intérieur de la racine carrée $\wn$ est positive donc nul besoin de passer par notre ami Euler pour déterminer les valeurs de $\la$. Nous pouvons maintenant réintégrer ce coefficient dans notre supposition initiale que $\vlt=Ae^{\la t}$. \begin{equation} - \vlt = A_1e^{(\al-\rootd)t} + A_2e^{(\al+\rootd)t} \\ + \vlt = A_1e^{(-\al-\rootd)t} + A_2e^{(-\al+\rootd)t} \\ \label{eq:vl_straight_decharge} \end{equation} @@ -232,13 +232,13 @@ \begin{gather*} \begin{align} - \vlz & = A_1\cancel{e^0} + A_2\cancel{e^0} = A_1 + A_2 = -12 + \vlz & = A_1\cancelto{1}{e^0} + A_2\cancelto{1}{e^0} = A_1 + A_2 = -12 \end{align} \end{gather*} Pour déterminer les constantes $A_1$ et $A_2$, il faudra une deuxième équation dont on connait les charactéristiques à un temps donné. On peut obtenir en dérivant l'équation de $\vlt$ dont - il est possible de déterminer les propriétés à $t=0$. + il est possible de déterminer les propriétés à $t=0^+$ (\cref{eq:vlt-decharge-deriv}). Lors de la simulation \textit{LTspice}, les spécifications de décharge du circuit généraient déjà une régression exponentielle suffisament rapides pour les besoins du circuit. La valeur de $R_2$ (\SI{100}{\kohm}) @@ -247,31 +247,29 @@ \begin{gather*} \begin{align} - R = \SI{100}{\kohm} - & ; - L = \SI{20}{\mH}; C = \SI{680}{\nF} \\ - \al & = \frac{1\exp{5}}{2\cdot20\exp{-3}} = 2.5\exp{6} \\ - \al^2 & = 6.25\exp{12} \\ - \wz & =\frac{1}{\sqrt{20\exp{-3}\cdot680\exp{-9}}} = \frac{1}{\sqrt{1.36\exp{-8}}} \\ - \ws & =\frac{1}{1.36\exp{-8}} \\ - \rho & = \sqrt{\al^2-\ws} \quad\text{\footnotesize(variable pour alléger la lecture)} \\ - \rho & = \sqrt{6.25\exp{12}-\frac{1}{1.36\exp{-8}}} \\ - \rho & = 2499985.2941\ldots \\ - \al-\rho & \approx 14.7059 \\ - \al+\rho & \approx 4'999'999.2941 + R = \SI{100}{\kohm} & ;\quad L = \SI{20}{\mH};\quad C = \SI{680}{\nF} \\ + \al & = \frac{1\exp{5}}{2\cdot20\exp{-3}} = 2.5\exp{6} \\ + \al^2 & = 6.25\exp{12} \\ + \wz & =\frac{1}{\sqrt{20\exp{-3}\cdot680\exp{-9}}} = \frac{1}{\sqrt{1.36\exp{-8}}} \\ + \ws & =\frac{1}{1.36\exp{-8}} \\ + \rho & = \sqrt{\al^2-\ws} \quad\text{\footnotesize(variable pour alléger la lecture)} \\ + \rho & = \sqrt{6.25\exp{12}-\frac{1}{1.36\exp{-8}}} \\ + \rho & = 2499985.2941\ldots \\ + \al-\rho & \approx 14.7059 \\ + \al+\rho & \approx 4'999'999.2941 \end{align} \end{gather*} On peut alors dériver l'\cref{eq:vl_straight_decharge} pour obtenir la deuxième équation nécessaire pour déterminer $A_1$ et $A_2$: - \begin{gather*} - \begin{align} - \ddt{}\vlt & =\ddt{}\left( A_1e^{\al-\rho} + A_2e^{\al+\rho}\right) \\ - \ddt{}\vlt & =\ddt{}\left( A_1e^{14.7059t} + A_2e^{4'999'999.2941t}\right) \\ - \ddt{}\vlt & = 14.7059\cdot A_1e^{14.7059t} + 4'999'999.2941\cdot A_2e^{4'999'999.2941t} \\ - \ddt{}\vlz & = 14.7059 A_1\cancel{e^{0}} + 4'999'999.2941 A_2\cancel{e^{0}} - \label{eq:bertha_mommy_decharge} - \end{align} - \end{gather*} + \begin{align} + \ddt{}\vlt & =\ddt{}\left( A_1e^{\al-\rho} + A_2e^{\al+\rho}\right) \\ + \ddt{}\vlt & =\ddt{}\left( A_1e^{14.7059t} + A_2e^{4'999'999.2941t}\right) \\ + \ddt{}\vlt & = 14.7059\cdot A_1e^{14.7059t} + 4'999'999.2941\cdot A_2e^{4'999'999.2941t} + \label{eq:vlt-decharge-deriv} \\ + \ddt{}\vlz & = 14.7059 A_1\cancelto{1}{e^{0}} + 4'999'999.2941 A_2\cancelto{1}{e^{0}} + \label{eq:bertha_mommy_decharge} + \end{align} + Nous connaissons donc la forme de la dérivée de $\vlz$ mais pas sa valeur à $t=0^+$. Toutefois, il est possible d'avoir que des termes dont la condition initiale est connue en remaniant la mise en équation du circuit avec les @@ -289,7 +287,7 @@ \ddt{}\vlt & = \frac{-1}{C}I(t) - \frac{R}{C}\vlt \end{align} \end{gather*} - Nous pouvons enfin déterminer la dériver du système au temps $0^+$ puisque tout les termes de droite sont connus: + Nous pouvons enfin déterminer la dériver du système à $t=0^+$ puisque tout les termes de droite sont connus: \begin{gather*} \begin{align} I(0^+) & = 0 \\ @@ -322,11 +320,20 @@ \begin{gather*} \begin{align} - \vlt & = \cancel{0e^{(\al-\rootd)t}} -12 e^{-5\exp{6}t} \\ + \vlt & = \cancelto{0}{0e^{(\al-\rootd)t}} -12 e^{-5\exp{6}t} \\ \vlt & = -12 e^{-5\exp{6}t} \end{align} \end{gather*} + \section{Circuit RC (\texorpdfstring{$C_2$}{TEXT})} + \subsection{Charge} + \subsection{Décharge} + + + \section{Circuit RC (\texorpdfstring{$C_3$}{TEXT})} + \subsection{Charge} + \subsection{Décharge} + \end{appendix} |