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\documentclass[a11paper, 11pt]{article}
% xelatex
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\newcommand{\note}[1]{\begin{color}{Orange}\textbf{NOTE:} #1\end{color}}
\newcommand{\todo}[1]{\begin{color}{Red}\textbf{TODO:} #1\end{color}}
\newcommand{\fixme}[1]{\begin{color}{Fuchsia}\textbf{FIXME:} #1\end{color}}
\newcommand{\question}[1]{\begin{color}{ForestGreen}\textbf{QUESTION:} #1\end{color}}
% \d{x} command for integral delimiters
\renewcommand{\d}[1]{\mathrm{d}#1}
\newcommand{\dt}{\mathrm{d}t}
\newcommand{\ddt}[1]{\frac{\text{d}^{#1}}{\text{d}t^{#1}}}
\newcommand{\vlt}{V_L(t)}
\newcommand{\vct}{V_C(t)}
\newcommand{\vrt}{V_R(t)}
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\newcommand{\vlz}{V_L(0^+)}
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\newcommand{\al}{\alpha}
\newcommand{\la}{\lambda}
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\renewcommand{\exp}[1]{\times10^{#1}}
\newcommand{\rootd}{\sqrt{\al^2-\ws}}
\DeclareSIPrefix{\micro}{%
\text{%
\fontencoding{TS1}\fontfamily{kurier}\selectfont
\symbol{"B5}%
}%
}{-6}
% \addbibresource{bibliography.bib}
% \institution{Université de Sherbrooke}
% \faculty{Faculté de génie}
% \department{Département de génie électrique et de génie informatique}
\title{Annexe de résolution à la problématique}
\class{Circuits et systèmes du deuxième ordre}
\classnb{GEN111,GEN136,GEN122}
\author{
\addtolength{\tabcolsep}{-0.4em}
\begin{tabular}{rcl} % Ajouter des auteurs au besoin
Benjamin Chausse & -- & CHAB1704 \\
Sarah Gosselin & -- & GOSS3005 \\
\end{tabular}
}
\teacher{Jean-Philippe Gouin}
% \location{Sherbrooke}
% \date{\today}
\begin{document}
\maketitle
\newpage
\begin{appendix}
\section{Outils mathématiques (Bible)}
Les fonction suivantes seront utilisées et référencé tout au long de l'annexe.
\begin{gather}
\vct = \frac{1}{C}\int\ict \dt \label{eq:vct}\\
\ict = C\frac{\text{d}}{\dt}\vct \label{eq:ict}\\
\nonumber\\
\vlt = L\frac{\text{d}}{\dt}\ilt \label{eq:vlt}\\
\ilt = \frac{1}{L}\int \vlt\dt \label{eq:ilt}\\
\nonumber\\
V(t) = RI(t) \label{eq:vri}\\
\nonumber\\
\al = \frac{R}{2L} \label{eq:alpha}\\
\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}} \label{eq:omega_0}\\
\omega_n = \sqrt{\omega_0^2 - \al^2 \label{eq:omega_n}}
\end{gather}
\newpage
\section{Circuit RLC}
\subsection{Charge}
On pose l'équation de l'état du circuit au temp $t(0)$ et on substitue pour
avoir en fonction de $\vlt$.
Puisque que circuit simplifié est constituer d'une seule boucle, le courant
se simplifie comme suit: $I_C = I_R = I_V = I$.
\begin{gather}
\vst = \vct + \vrt + \vlt \\
\vst = \frac{1}{C}\int I(t) \dt + RI(t) + \vlt \\
\vst = \frac{1}{CL} \iint \vlt \dt\ \dt + \frac{R}{L}\int\vlt\dt + \vlt\\
\nonumber \text{On substitue les termes $R, L, C$ par les \cref{eq:alpha,eq:omega_0}}\\
\ddt{2}V_S = \ddt{2}\vlt + 2\al\ddt{}\vlt + \omega^2\vlt\\
\end{gather}
On entame la résolution de l'equation différetielle d'ordre 2 à coéfficient
constant et forcé par la solution homogène.
Tel que présenté par l'\cref{eq:vlt-charge-generale}.
\begin{gather}
\vlt = V_{L_h} + V_{L_p} \label{eq:vlt-charge-generale}\\
\nonumber \text{On pose la forme de la solution homogène: } V_{L_h} = Ae^{\la t} = 0\\
0 = \la^2Ae^{\la t} + 2\al\la Ae^{\la t} + \omega_0^2Ae^{\la t}\\
0 = \cancelto{0}{Ae^{\la t}}\left(\la^2 + 2\al\la + \omega_0\right)\\
\la_{1,2} = \frac{-2\al \pm \sqrt{(2\al)^2 - 4\omega_0^2}}{2}\\
\la_{1,2} = -\al\pm\sqrt{\al^2 - \omega_0^2}\\
\nonumber\text{Puisque le discriminant est négatif, on le multiplie par $-1$,}\\
\nonumber\text{on sort $j$ et on simplifie avec l'\cref{eq:omega_n}.}\\
\la_{1,2} = -\al\pm j\omega_n\\
\begin{WithArrows}
V_{L_h} &= A_1e^{(-\al+j\wn)t} + A_2e^{(-\al+j\wn)t} \Arrow{Se simplifie} \\
V_{L_h} &= e^{-\al t}\left(A_1e^{j\wn t} + A_2e^{-j\wn t}\right)
\end{WithArrows}
\end{gather}
On prend utilise ensuite la formule d'Euler afin de résoudre l'équation.
\subsection{Décharge}
\begin{gather*}
\begin{align}
0 & = \vlt + V_C(t) + V_R(t) \\
\label{eq:rlc_decharge_initial}
0 & = \vlt+\frac{1}{C}\int I_(t)\dt + R_I(t) \\
0 & = \ddt{2}\left[ \vlt + \frac{1}{LC}\iint\vlt\dt^2 + \frac{R}{L}\ddt{} \vlt \right] \\
0 & = \ddt{2}\vlt+ \frac{R}{L}\ddt{}\vlt +\frac{1}{LC}\vlt \\
0 & = \ddt{2}+\vlt+2\al\ddt{}\vlt+\ws \\
\nonumber\text{Posons que: }
&
\vlt=Ae^{\la t} \Rightarrow
\ddt{}\vlt=\la Ae^{\la t} \Rightarrow
\ddt{2}\vlt=\la^{2}Ae^{\la t} \\
0 & = \la^2Ae^{\la t} +2\al Ae^{\la t} + \ws Ae^{\la t} \\
0 & = Ae^{\la t} \left(\la^2 +2\al\la+\ws \right) \\
0 & = \la^2 +2\al\la+\ws \\
\la_{1,2} & = \frac{-2\al\pm\sqrt{(-2\al)^2-4\ws}}{2(-2\al)} \\
\la{1,2} & = -\al\pm\sqrt{\al^2-\ws}
\end{align}
\end{gather*}
Puisque $R$ est de l'ordre des \si{\kohm} et $L$ de l'ordre des \SI{}{\mH}, on peut déterminer
sans faire de calculs que l'intérieur de la racine carrée $\wn$ est posifive. Donc nul besoin de
passer par notre ami Euler pour déterminer les valeurs de $\la$. Nous pouvons maintenant réintégrer
ce coefficient dans notre supposition initiale que $\vlt=Ae^{\la t}$.
\begin{equation}
\vlt = A_1e^{\al-\rootd} + A_2e^{\al+\rootd} \\
\label{eq:vl_straight_decharge}
\end{equation}
Pour déterminer les constantes $A_1$ et $A_2$, il faut une deuxième équation dont on connait les
charactéristiques à un temps donné. On peut obtenir en dérivant l'équation de $\vlt$ dont
il est possible de déterminer les propriétés à $t=0$.
Lors de la simulation \textit{LTspice}, les spécifications de décharge du circuit généraient déjà une
régression exponentielle suffisament rapides pour les besoins du circuit. La valeur de $R_2$ (\SI{100}{\kohm})
est donc gardée idem puis utilisée dans le calcul de la dérivée pour en simplifier la résolution. La résistance $R_1$
est négligée puisque sa valeur est moindre face à la tolérance $\pm 5\%$ de $R_2$.
\begin{gather*}
\begin{align}
R = \SI{100}{\kohm}
& ;
L = \SI{20}{\mH}; C = \SI{680}{\nF} \\
\al & = \frac{1\exp{5}}{2\cdot20\exp{-3}} = 2.5\exp{6} \\
\al^2 & = 6.25\exp{12} \\
\wz & =\frac{1}{\sqrt{20\exp{-3}\cdot680\exp{-9}}} = \frac{1}{\sqrt{1.36\exp{-8}}} \\
\ws & =\frac{1}{1.36\exp{-8}} \\
\rho & = \sqrt{\al^2-\ws} \quad\text{\footnotesize(variable pour alléger la lecture)} \\
\rho & = \sqrt{6.25\exp{12}-\frac{1}{1.36\exp{-8}}} \\
\rho & = 2499985.2941\ldots \\
\al-\rho & \approx 14.7059 \\
\al+\rho & \approx 4'999'999.2941
\end{align}
\end{gather*}
On peut alors dériver de l'\cref{eq:vl_straight_decharge}:
\begin{gather*}
\begin{align}
\ddt{}\vlt & =\ddt{}\left( A_1e^{\al-\rho} + A_2e^{\al+\rho}\right) \\
\ddt{}\vlt & =\ddt{}\left( A_1e^{14.7059t} + A_2e^{4'999'999.2941t}\right) \\
\ddt{}\vlt & = 14.7059\cdot A_1e^{14.7059t} + 4'999'999.2941\cdot A_2e^{4'999'999.2941t}
\label{eq:bertha_mommy_decharge}
\end{align}
\end{gather*}
\todo{Expliquer pourquoi on passe par ici dans ce qui suit}\\
\begin{gather*}
\begin{align}
0 & = \ddt{}\vlt + \ddt{}V_C(t) + \ddt{}V_R(t)\quad \\
\ddt{}\vlt & = - \ddt{}V_C(t) - \ddt{}V_R(t) \\
\ddt{}\vlt & = \frac{-1}{C}I(t) - R\ddt{}I(t)
\end{align}
\end{gather*}
En réarangeant les termes de l'\cref{eq:vlt}, nous pouvons substituer $\ddt{}I(t)$ pour obtenir:
\begin{gather*}
\begin{align}
\ddt{}\vlt & = \frac{-1}{C}I(t) - \frac{R}{C}\vlt
\end{align}
\end{gather*}
Nous pouvons enfin déterminer la dériver du système au temps $0^+$ puisque tout les termes de droite sont connus:
\begin{gather*}
\begin{align}
I(0^+) & = 0 \\
\vlz & = -12 \\
\ddt{}\vlz & = 0 - 12\frac{1\exp{5}}{20\exp{-3}} = 60\exp{6}
\end{align}
\end{gather*}
\end{appendix}
\end{document}
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