blob: 5e270fbf04bbc5e2dac5a6c45eb788763acb3cd1 (
plain)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
|
\documentclass[a11paper, 11pt]{article}
% xelatex
\usepackage{titlepage}
\usepackage{booktabs}
\usepackage{bookmark}
\usepackage{subcaption}
\usepackage[american]{circuitikz}
% \usepackage{showframe}
\usepackage{float}
\usepackage{multicol}
\usepackage{siunitx}
\usepackage{amsmath}
\usepackage[dvipsnames]{xcolor}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{csquotes}
\usepackage[french]{babel}
\usepackage{hyperref}
\usepackage[french]{cleveref}
\newcommand{\note}[1]{\begin{color}{Orange}\textbf{NOTE:} #1\end{color}}
\newcommand{\fixme}[1]{\begin{color}{Fuchsia}\textbf{FIXME:} #1\end{color}}
\newcommand{\question}[1]{\begin{color}{ForestGreen}\textbf{QUESTION:} #1\end{color}}
% \d{x} command for integral delimiters
\renewcommand{\d}[1]{\mathrm{d}#1}
\newcommand{\dt}{\mathrm{d}t}
\newcommand{\ddt}[1]{\frac{\text{d}^{#1}}{\text{d}t^{#1}}}
\newcommand{\vlt}{V_L(t)}
\newcommand{\vct}{V_C(t)}
\newcommand{\vrt}{V_R(t)}
\newcommand{\vst}{V_S(t)}
\newcommand{\vlz}{V_L(0)}
\newcommand{\al}{\alpha}
\newcommand{\la}{\lambda}
\newcommand{\wz}{\omega_{0}}
\newcommand{\ws}{\omega_{0}^2}
\newcommand{\wn}{\omega_{\mathrm{n}}}
\DeclareSIPrefix{\micro}{%
\text{%
\fontencoding{TS1}\fontfamily{kurier}\selectfont
\symbol{"B5}%
}%
}{-6}
% \addbibresource{bibliography.bib}
% \institution{Université de Sherbrooke}
% \faculty{Faculté de génie}
% \department{Département de génie électrique et de génie informatique}
\title{Annexe de résolution à la problématique}
\class{Circuits et systèmes du deuxième ordre}
\classnb{GEN111,GEN136,GEN122}
\author{
\addtolength{\tabcolsep}{-0.4em}
\begin{tabular}{rcl} % Ajouter des auteurs au besoin
Benjamin Chausse & -- & CHAB1704 \\
Sarah Gosselin & -- & GOSS3005 \\
\end{tabular}
}
\teacher{Jean-Philippe Gouin}
% \location{Sherbrooke}
% \date{\today}
\begin{document}
\maketitle
\newpage
\begin{appendix}
\section{Outils mathématiques (Bible)}
Les fonction suivantes seront utilisées et référencé tout au long de l'annexe.
\begin{gather}
V_C(t) = \frac{1}{C}\int I_C(t) \dt \label{eq:vct}\\
I_C(t) = C\frac{\text{d}}{\dt}V_C(t) \label{eq:ict}\\
\nonumber\\
V_L(t) = L\frac{\text{d}}{\dt}I_L(t) \label{eq:vlt}\\
I_L(t) = \frac{1}{L}\int V_L(t)\dt \label{eq:ilt}\\
\nonumber\\
V(t) = RI(t) \label{eq:vri}\\
\nonumber\\
\al = \frac{R}{2L} \label{eq:alpha}\\
\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}} \label{eq:omega_0}\\
\omega_n = \sqrt{\omega_0^2 - \al^2 \label{eq:omega_n}}
\end{gather}
\newpage
\section{Circuit RLC}
\subsection{Charge}
On pose l'équation de l'état du circuit au temp $t(0)$ et on substitue pour
avoir en fonction de $\vlt$.
Puisque que circuit simplifié est constituer d'une seule boucle, le courant
se simplifie comme suit: $I_C = I_R = I_V = I$.
\begin{gather}
V_S = V_C(t) + V_R(t) + V_L(t) \\
V_S = \frac{1}{C}\int I(t) \dt + RI(t) + V_L \\
V_S = \frac{1}{CL} \iint \vlt \dt\ \dt + \frac{R}{L}\int\vlt\dt + V_L\\
\ddt{2}V_S = \ddt{2}\vlt + \frac{R}{L}\ddt{}\vlt + \frac{1}{CL}\vlt\\
\nonumber\\
\nonumber \text{On pose la forme de la solution homogène: } V_{L_h} = Ae^{\la t}\\
\end{gather}
\subsection{Décharge}
\begin{gather*}
\begin{align}
0 & = \vlt + V_C(t) + V_R(t) \\
0 & = \vlt+\frac{1}{C}\int I_(t)\dt + R_I(t) \\
0 & = \ddt{2}\left[ \vlt + \frac{1}{LC}\iint\vlt\dt^2 + \frac{R}{L}\ddt{} \vlt \right] \\
0 & = \ddt{2}\vlt+ \frac{R}{L}\ddt{}\vlt +\frac{1}{LC}\vlt \\
0 & = \ddt{2}+\vlt+2\al\ddt{}\vlt+\ws \\
\nonumber\text{Posons que: }
&
\vlt=Ae^{\la t} \Rightarrow
\ddt{}\vlt=\la Ae^{\la t} \Rightarrow
\ddt{2}\vlt=\la^{2}Ae^{\la t} \\
0 & = \la^2Ae^{\la t} +2\al Ae^{\la t} + \ws Ae^{\la t} \\
0 & = Ae^{\la t} \left(\la^2 +2\al\la+\ws \right) \\
0 & = \la^2 +2\al\la+\ws \\
\la_{1,2} & = \frac{-2\al\pm\sqrt{(-2\al)^2-4\ws}}{2(-2\al)} \\
\la{1,2} & = -\al\pm\sqrt{\al^2-\ws}
\end{align}
\end{gather*}
\end{appendix}
\end{document}
|