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diff --git a/annexe/main.tex b/annexe/main.tex index 7e4f7c2..7f177ab 100644 --- a/annexe/main.tex +++ b/annexe/main.tex @@ -139,7 +139,7 @@ V_{L_h} = e^{-\al t}\left[A_1\cos(\wn t) + A_1j\sin(\wn t) + A_2\cos(\wn t) - A_2j\sin(\wn t)\right]\\ V_{L_h} = e^{-\al t}\left[\underbrace{(A_1+A_2)}_{C_1}\cos(\wn t) + \underbrace{(A_1-A_2)j}_{C_2}\sin(\wn t)\right]\\ - V_{L_h} = e^{-\al t}\left[C_1\cos(\wn t) + C_2\sin(\wn t)\right] + V_{L_h} = e^{-\al t}\left[C_1\cos(\wn t) + C_2\sin(\wn t)\right]\label{eq:vlh-sol-homo} \end{gather} Ayant maintenant la solution homogène, il faudrait trouvé la solution particulière @@ -166,10 +166,32 @@ \ddt{}\vlz = -24000 \ \text{\footnotesize(Provenant de l'\cref{eq:cond-init-deriv-charge})} \end{gather} - Il est maintenant possible de trouver $C_1$ et $C_2$ en se servant de l'\cref{eq:vlt-sol-generale}. - % \begin{gather} - % \vlz - % \end{gather} + Puisque la condition initiale de l'\cref{eq:cond-init-deriv-charge} requiert la dérivé + de $V_{L_g}$ (\cref{eq:vst-initiale-charge}): + \begin{gather} + \ddt{}V_{L_g} = -\al e^{-\al t}\left[C_1\cos(\wn t) + C_2\sin(\wn t)\right] + + e^{-\al t}\left[-C_1\wn\sin(\wn t) - C_2\wn\cos(\wn t)\right] \\ + \ddt{}V_{L_g} = -e^{-\al t}\left[C_1\al\cos(\wn t) + C_2\al\sin(\wn t) + + C_1\wn\sin(\wn t) - C_2\wn\cos(\wn t)\right] \label{eq:grosse-criss-de-derivee} + \end{gather} + + Il est maintenant possible de trouver $C_1$ et $C_2$ en se servant de l'\cref{eq:vlh-sol-homo} + et de l'\cref{eq:grosse-criss-de-derivee} + \begin{gather} + V_{L_h}(0) = 12 = \cancelto{1}{e^{-\al t}}\left[C_1\cancelto{1}{\cos(\wn t)} + + \cancelto{0}{C_2\sin(\wn t)}\right]\\ + 12 = C_1\\ + \ddt{}V_{L_g}(0) = -24000 = \cancelto{1}{-e^{-\al t}} + \left[12\al\cancelto{1}{\cos(\wn t)} + \cancelto{0}{C_2\al\sin(\wn t)} + + \cancelto{0}{12\wn\sin(\wn t)} - C_2\wn\cancelto{1}{\cos(\wn t)}\right]\\ + -24000 = -12\al + C_2\wn\\ + C_2 = \frac{-24000 + 12\al}{\wn} = -1.654 + \end{gather} + + Avec les valeurs de $C_1$ et $C_2$ il est maintenant possible d'ecrire la fonction $\vlt$ complète. + \begin{gather} + \vlt = e^{-\al t}\left[12\cos(\wn t) - 1.654\sin(\wn t)\right] + \end{gather} |