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diff --git a/annexe/main.tex b/annexe/main.tex index 4073df5..926eb6e 100644 --- a/annexe/main.tex +++ b/annexe/main.tex @@ -116,7 +116,7 @@ \ddt{2}V_S = \ddt{2}\vlt + 2\al\ddt{}\vlt + \ws\vlt \end{gather} - On entame la résolution de l'equation différetielle d'ordre 2 à coéfficient + On entame la résolution de l'equation différentielle d'ordre 2 à coéfficient constant et forcé par la solution homogène. Tel que présenté par l'\cref{eq:vlt-charge-generale}. \begin{gather} @@ -330,7 +330,87 @@ \section{Circuit RC (\texorpdfstring{$C_2$}{TEXT})} \subsection{Charge} + Le circuit RC forme une équation différentielle du premier order forcé et à coefficient constant. + Sont but est de réguler la longueur des pulsation envoyé envoyé à l'amplis U2. + Ce dernier étant en configuration "Comparateur", on sait que la tension à laquelle le changement + s'opère est celle dicté par le diviseur de tension $R_8 = \SI{2}{\kohm}$ et $R_9 = \SI{1}{\kohm}$. + \begin{gather} + V_x = V_S\frac{R_x}{R_t}\\ + V_x = 12\frac{R_9}{R_8 = R_9}\\ + V_x = \SI{4}{\V} + \end{gather} + + Les conditions initiales en charge du circuit sont les suivantes: + \begin{gather} + \vst = \vct + V_D + \vrt \label{eq:rc-charge-base}\\ + V_S(0) = 12\\ + V_C(0) = -12\\ + V_D(0) = 0.6\\ + V_R(0) = 23.4 \label{eq:rc-charge-init}\\ + \end{gather} + + En substituant l'\cref{eq:vct} dans l'\cref{eq:rc-charge-base} afin de tout + avoir en fonction de $\vrt$: + \begin{DispWithArrows}[rr,xoffset=0.4cm] + \vst &= \frac{1}{C}\int I\dt + \vrt + V_D + \Arrow{\footnotesize Utilisation de \\l'\cref{eq:rc-charge-base}} \\ + \vst &= \frac{1}{RC}\int\vrt + \vrt + \cancelto{0}{V_D} + \Arrow{On applique la dérivé}\\ + \cancelto{0}{\ddt{}\vst} &= \frac{1}{RC}\vrt + \ddt{}\vrt \label{eq:rc-charge-deriv} + \end{DispWithArrows} + + On pose ensuit la fomre standarde des équations différentielle homogène et + on l'applique à l'\cref{eq:rc-charge-deriv}. + \begin{DispWithArrows}[format=c] + V_{R_h} = Ae^{\la t} \Arrow[jump=3,tikz=<-]{On reporte} \label{eq:rc-charge-homo}\\ + 0 = \la Ae^{\la t} + \frac{1}{RC}Ae^{\la t}\\ + \la\cancelto{1}{Ae^{\la t}} = -\frac{1}{RC}\cancelto{1}{Ae^{\la t}}\\ + \la = -\frac{1}{RC} + \end{DispWithArrows} + + On rapporte ensuite la valeur de $\la$ dans l'\cref{eq:rc-charge-homo} et on + trouve la valeur de la constante $A$ à l'aide de la conditions initiale à l'\cref{eq:rc-charge-init}. + + \begin{gather} + V_{R_h}(0) = 23.4 = A\cancelto{0}{e^{-\frac{t}{RC}}}\\ + 23.4 = A\\ + \nonumber\text{Forme finale de l'equation:}\\ + \vrt = 23.4Ae^{-\frac{t}{RC}} \label{eq:rc-charge-final} + \end{gather} + + Un des requis du problème est la longueure des impulsions. + Sachant que celle-ci doivent durer \SI{150}{\us} et s'atténuent à une tension de \SI{4}{\V}, + on peut les imposé à l'\cref{eq:rc-charge-final} afin de trouver la valeur de $R$ qui + satisfera le circuit. + + \begin{DispWithArrows}[format=c] + V_R(\SI{150}{\us})= 4 = 23.4e^{-\frac{\num{150e-6}}{RC}}\\ + \frac{4}{23.4} = e^{-\frac{\num{150e-6}}{RC}}\\ + \ln(\frac{4}{23.4}) = -\frac{\num{150e-6}}{RC}\\ + R = -\frac{\num{150e-6}}{C\ln(\frac{4}{23.4})} \Arrow{Application \\numérique}\\ + R_7 = \SI{8491}{\ohm} \xrightarrow{\text{Serie E24}} R_7 = \SI{8.2}{\kohm} + \end{DispWithArrows} + \subsection{Décharge} + La décharge du condensateur est indentique à la charge en tout point sauf + les conditions initiales et les requis pour l'application numérique servant à + déduire $R_6$. + Voici les conidions initiales pour la décharge: + \begin{gather} + \vst = \vct + V_D + \vrt \label{eq:rc-decharge-base}\\ + V_S(0) = -12\\ + V_C(0) = 12\\ + V_D(0) = -0.6\\ + V_R(0) = -23.4 \label{eq:rc-decharge-init}\\ + \end{gather} + + Les étapes suivantes sont similaires aux \crefrange{eq:rc-charge-base}{eq:rc-charge-final} + à quelques signes près. + On obtient donc l'équation $V_R(t)$ suivante: + \begin{gather} + \vrt = -23.4Ae^{-\frac{t}{RC}} \label{eq:rc-decharge-final} + \end{gather} + \section{Circuit RC (\texorpdfstring{$C_3$}{TEXT})} |