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\documentclass[a11paper, 11pt]{article}
% xelatex
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\usepackage[american]{circuitikz}
% \usepackage{showframe}
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\usepackage{csquotes}
\usepackage[french]{babel}
\usepackage{hyperref}
\usepackage[french]{cleveref}
\newcommand{\note}[1]{\begin{color}{Orange}\textbf{NOTE:} #1\end{color}}
\newcommand{\fixme}[1]{\begin{color}{Fuchsia}\textbf{FIXME:} #1\end{color}}
\newcommand{\question}[1]{\begin{color}{ForestGreen}\textbf{QUESTION:} #1\end{color}}
% \d{x} command for integral delimiters
\renewcommand{\d}[1]{\mathrm{d}#1}
\newcommand{\dt}{\mathrm{d}t}
\newcommand{\ddt}[1]{\frac{d^{#1}}{dt^{#1}}}
\newcommand{\vlt}{V_L(t)}
\newcommand{\vlz}{V_L(0)}
\newcommand{\al}{\alpha}
\newcommand{\la}{\lambda}
\newcommand{\wz}{\omega_{0}}
\newcommand{\ws}{\omega_{0}^2}
\newcommand{\wn}{\omega_{\mathrm{n}}}
\newcommand{\rootd}{\sqrt{\al^2-\ws}}
\DeclareSIPrefix{\micro}{%
\text{%
\fontencoding{TS1}\fontfamily{kurier}\selectfont
\symbol{"B5}%
}%
}{-6}
% \addbibresource{bibliography.bib}
% \institution{Université de Sherbrooke}
% \faculty{Faculté de génie}
% \department{Département de génie électrique et de génie informatique}
\title{Annexe de résolution à la problématique}
\class{Circuits et systèmes du deuxième ordre}
\classnb{GEN111,GEN136,GEN122}
\author{
\addtolength{\tabcolsep}{-0.4em}
\begin{tabular}{rcl} % Ajouter des auteurs au besoin
Benjamin Chausse & -- & CHAB1704 \\
Sarah Gosselin & -- & GOSS3005 \\
\end{tabular}
}
\teacher{Jean-Philippe Gouin}
% \location{Sherbrooke}
% \date{\today}
\begin{document}
\maketitle
\newpage
\begin{appendix}
\section{Outils mathématiques (Bible)}
Les fonction suivantes seront utilisées et référencé tout au long de l'annexe.
\begin{gather}
V_C(t) = \frac{1}{C}\int I_C(t) \dt \label{eq:vct}\\
I_C(t) = C\frac{\text{d}}{\dt}V_C(t) \label{eq:ict}\\
\nonumber\\
V_L(t) = L\frac{\text{d}}{\dt}I_L(t) \label{eq:vlt}\\
I_L(t) = \frac{1}{L}\int V_L(t)\dt \label{eq:ilt}\\
\nonumber\\
V(t) = RI(t) \label{eq:vri}\\
\nonumber\\
\al = \frac{R}{2L} \label{eq:alpha}\\
\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}} \label{eq:omega_0}\\
\omega_n = \sqrt{\omega_0^2 - \al^2 \label{eq:omega_n}}
\end{gather}
\section{Circuit RLC}
\subsection{Charge}
On pose l'équation de l'état du circuit au temp $t(0)$ et on substitue pour
avoir en fonction de $\vlt$.
Puisque que circuit simplifié est constituer d'une seule boucle, le courant
se simplifie comme suit: $I_C = I_R = I_V = I$.
\begin{gather}
V_S = V_C(t) + V_R(t) + V_L(t) \\
V_S = \frac{1}{C}\int I(t) \dt + RI(t) + V_L \\
V_S = \frac{1}{CL} \iint \vlt \dt\ \dt + \frac{R}{L}\int\vlt\dt + V_L\\
\ddt{2}V_S = \ddt{2}\vlt + \frac{R}{L}\ddt{}\vlt + \frac{1}{CL}\vlt\\
\nonumber\\
\nonumber \text{On pose la forme de la solution homogène: } V_{L_h} = Ae^{\la t}\\
\end{gather}
\subsection{Décharge}
\begin{gather*}
\begin{align}
0 & = \vlt + V_C(t) + V_R(t) \\
0 & = \vlt+\frac{1}{C}\int I_(t)\dt + R_I(t) \\
0 & = \ddt{2}\left[ \vlt + \frac{1}{LC}\iint\vlt\dt^2 + \frac{R}{L}\ddt{} \vlt \right] \\
0 & = \ddt{2}\vlt+ \frac{R}{L}\ddt{}\vlt +\frac{1}{LC}\vlt \\
0 & = \ddt{2}+\vlt+2\al\ddt{}\vlt+\ws \\
\nonumber\text{Posons que: }
&
\vlt=Ae^{\la t} \Rightarrow
\ddt{}\vlt=\la Ae^{\la t} \Rightarrow
\ddt{2}\vlt=\la^{2}Ae^{\la t} \\
0 & = \la^2Ae^{\la t} +2\al Ae^{\la t} + \ws Ae^{\la t} \\
0 & = Ae^{\la t} \left(\la^2 +2\al\la+\ws \right) \\
0 & = \la^2 +2\al\la+\ws \\
\la_{1,2} & = \frac{-2\al\pm\sqrt{(-2\al)^2-4\ws}}{2(-2\al)} \\
\la{1,2} & = -\al\pm\sqrt{\al^2-\ws}
\end{align}
\end{gather*}
Puisque $R$ est de l'ordre des \si{\kohm} et $L$ de l'ordre des \SI{}{\mH}, on peut déterminer
sans faire de calculs que l'intérieur de la racine carrée $\wn$ est posifive. Donc nul besoin de
passer par notre ami Euler pour déterminer les valeurs de $\la$. Nous pouvons maintenant réintégrer
ce coefficient dans notre supposition initiale que $\vlt=Ae^{\la t}$.
\begin{equation}
\vlt = A_1e^{\al-\rootd} + A_2e^{\al+\rootd} \\
\end{equation}
Pour déterminer les constantes $A_1$ et $A_2$, il faut une deuxième équation dont on connait les
charactéristiques à un temps donné. On peut obtenir en dérivant l'équation de $\vlt$ dont
il est possible de déterminer les propriétés à $t=0$.
Lors de la simulation \textit{LTspice}, les spécifications de décharge du circuit généraient déjà une
régression exponentielle suffisament rapides pour les besoins du circuit. La valeur de $R_1$ (\SI{100}{\kohm})
est donc gardée idem utilisée dans le calcul de la dérivée pour en simplifier la résolution.
\end{appendix}
\end{document}
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